更新时间：作者：小小条
高中数学立体几何解题核心是“降维转化”，即将空间问题转化为平面问题，常用技巧可分为“几何法”和“空间向量法”两大类，具体如下：
核心是熟练运用线面、面面平行/垂直的判定定理与性质定理，关键步骤可总结为“一找二证三算”。
1. 证明线面平行：
技巧：找“平面内的平行线”。可通过三角形中位线（如连接中点）、平行四边形对边平行，或构造辅助线使线线平行，再套用“线线平行→线面平行”定理。
2. 证明线面垂直：
技巧：找“平面内的两条相交直线”。需证明目标直线与平面内两条相交直线分别垂直（如与棱垂直、与底面边长垂直），再用“线线垂直→线面垂直”定理。
3. 证明面面平行/垂直：
- 面面平行：找“一个平面内的两条相交直线”，分别平行于另一个平面，即“线面平行→面面平行”。
- 面面垂直：找“一个平面内垂直于交线的直线”，若该直线垂直于另一个平面，即“线面垂直→面面垂直”（常用“找棱的垂线”技巧）。
4. 求体积/表面积：
- 体积：优先用“底面积×高”，高的找法是“从顶点向底面作垂线”（如正棱锥的高在底面中心，直棱柱的高即侧棱长）；不规则几何体用“分割法”或“补形法”（如将三棱锥补成长方体）。
- 表面积：直棱柱/圆柱直接用公式，棱锥需计算每个面的面积（注意斜面用三角形面积公式，需找斜高）。
核心是建立空间直角坐标系，将几何元素转化为向量坐标，用向量运算替代逻辑推理，步骤固定且易上手。
1. 建系技巧：
优先找“三条两两垂直的直线”作为x、y、z轴，常见模型：
- 长方体/正方体：以顶点为原点，棱为坐标轴。
- 直棱柱：以底面内垂直的两条边为x、y轴，侧棱为z轴。
- 正棱锥：以底面中心为原点，底面内垂直的直线为x、y轴，高为z轴。
2. 求角度：
- 线线角（异面直线）：计算两直线方向向量的夹角余弦值，取绝对值（因线线角范围是[0, \frac{\pi}{2}]）。
- 线面角：计算直线方向向量与平面法向量的夹角正弦值（线面角是直线与平面的最小角，等于\frac{\pi}{2}减去方向向量与法向量的夹角）。
- 二面角：计算两个平面法向量的夹角，需结合图形判断是“夹角”还是“补角”（可观察二面角是锐角还是钝角）。
3. 求距离：
- 点到平面的距离：用“点与平面内任一点连线的向量，在平面法向量上的投影长度”计算，公式为d = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}（A是点，P是平面内点，\vec{n}是平面法向量）。
- 异面直线距离：找公垂向量，计算两直线上各取一点连线的向量，在公垂向量上的投影长度（较少考，优先用几何法找公垂线）。
1. 画图标注：读题时在图中标记已知条件（如“⊥”“∥”“长度”“角度”），避免遗漏信息。
2. 优先选方法：证明题优先用几何法（步骤简洁），涉及“角度、距离”的计算优先用空间向量法（无需复杂找辅助线）。
3. 验证合理性：计算后检查结果是否符合实际（如线面角应小于90°，体积应为正数），避免坐标算错或公式用反。
下一篇文章:结合具体例题（如证明线面垂直、求二面角）拆解上述技巧的应用过程
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