导语

集智学园联合上海大学理学院教授、知乎“物理学”话题优秀答主李永乐，共同推出「统计物理基础」系列课程。课程以热力学和经典力学为起点，依次展开 Boltzmann 统计、系综理论、量子统计、相变与非平衡统计等核心内容，围绕一个核心问题展开：大量微观粒子的随机运动如何涌现出稳定的宏观定律？本课程强调物理图像与方法论，帮助你建立清晰的微观—宏观统计思维，掌握处理多粒子系统和复杂随机过程的一套通用工具。

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引入

明师难觅

对于一门面向跨学科研究者的统计物理课，授课老师必须同时满足两点：一是真正懂物理、做过一线科研；二是能把抽象理论讲到跨领域的人也能拿来用。

上海大学理学院物理系副主任、知乎“物理学”话题优秀答主李永乐教授，正处在这两个圈的交集。他长期从事原子分子物理、量子动力学与统计物理等方向研究，是学校量子科技团队骨干，也常年担任大学物理、统计物理、Python数值计算、物理中的机器学*、高等原子分子物理学等课程教学。

在知乎等平台，他围绕统计物理、计算物理和量子理论持续输出高质量答疑，累计获得 41 万＋赞同、19 万＋关注，是理工科领域兼具科研深度与科普能力的创作者之一。

因此，这门「统计物理基础」课程，由集智俱乐部特别邀请李永乐老师共同开发与主讲。

为什么关心统计物理？

在物理学的内部视角里，统计物理关心的是：

当一个系统由海量自由度构成（粒子、细胞、个体、节点……），在只知道局部规则和少量约束的情况下，其宏观物理规律是什么样子的。

如果你把“粒子”换成其他对象——神经元、公司、城市、模型参数、网络节点，你会发现，你研究的，其实也是一个多自由度系统。只是你给它起了别的名字：神经网络、经济模型、生态动力学、群体行为分析等。

从跨学科研究者的视角，统计物理提供的是一套“高层结构语言”，例如：

用「状态–能量–分布」来重写模型：状态空间 = 所有可能的情况；能量/代价函数 = 你在优化的目标；分布 = 在噪声和约束下系统的各种可能的状态，以及它们出现的规律。学会区分：平均行为 / 涨落 / 结构：什么时候只看平均值就够？什么时候涨落本身在讲故事？什么时候出现多稳态、临界、玻璃化？用「相图」的眼光看问题：不再只在一个参数点上调参，而是问：在整个参数平面上，这个系统有多少种“相”，而我研究的对象落在哪一块？

很多复杂系统之所以“感觉很复杂但说不清”，往往不是现象太玄，而是缺少一套合适的结构语言。系统学过统计物理之后，你会发现自己多了一整套可复用的图景和工具：知道该看什么量、在哪个尺度上看、如何把“复杂”翻译成可以分析和计算的对象。这也是为什么，统计物理常被视为复杂系统研究者的框架语言。

一个例子：机器学*中的能量景观

先从很多人最熟悉的一件事说起：训练模型。

你有一大堆参数；有一个损失函数；用 SGD、Adam 在一个超高维空间里往下爬，想找到一个好解。

平时我们会说：在做优化、在找局部极小、在调学*率和正则。

统计物理会把同一件事换一种说法：

把参数的一个取值组合看成系统的一个微观状态；把损失函数看成这个状态的能量，高损失 = 高能量，低损失 = 低能量；把整个训练过程，看成在一片起伏不平的能量景观上随机行走。

学*率、batch 噪声、不确定性，扮演着类似温度的角色：温度很低时，系统容易被锁在某个深坑里；温度稍高一点，就更容易在不同盆地之间跳来跳去，最终停在既足够低、又足够宽的谷底。

在这个视角下，一些你熟悉但难以讲清的问题，会被重新组织：

为什么大模型到处是局部极小，反而不容易严重过拟合？为什么加一点噪声、正则，反而训练得更好？为什么不同随机初始训练出来，效果看起来差不多？

你不需要背公式，只要掌握几件事：能量/自由能景观的图像、平衡与非平衡过程的区别、以及相图、相变的直觉——你原来靠经验积累出来的那些调参手感，就可以被翻译成一套更有结构的语言。

同样的类比还能映射到：细胞命运决策、生态系统多稳态、社会极化与舆论集体行为……

这类跨学科案例，正好展示了同一套统计物理模型如何落在不同对象上——这也正是统计物理在跨学科研究中的重要作用。

最后，这门课程适合谁？

你已经学过概率论、统计，做过建模或数据分析；你研究的对象本质上是“很多个体、很多维度、很多相互作用”的系统；你知道“复杂”，但缺一个足够坚固、够抽象、又能落地的“统一语言”来组织自己的直觉。

如果你在生命、智能、生态、经济、活性物质、AI 等方向长期发展，统计物理就是你迟早要补的一块底层结构。

在这样一个面向跨学科研究，由长期做教学与科普的物理老师来讲的系统课程里，会提供一个好的学*路径。

课程主题：统计物理基础

系列课程简介

“当你请一位物理学家研究一张桌子，这位物理学家会先建立出只有一条腿的桌子的理论，再建立无穷条腿的桌子的理论，然后穷尽其毕生精力，来尝试提出具有有限条腿的桌子的理论”

当自由度多到“数不过来”时，物理学家会如何处理？当运动是随机的、结果却近乎确定时，这中间到底发生了什么？

我们的统计物理系列课程围绕这样一组问题展开：

大量随机运动着的弱相互作用的“粒子”，如何生成稳定的宏观定律？什么是熵？“熵增”和不可逆性到底意味着什么？什么是系综？为什么可以用统计平均替代时间平均？微正则、正则、巨正则有何区别，又为何在宏观上几乎等价？粒子“全同”如何改变统计规则，迫使我们走向量子统计？相变临界涨落与非平衡过程中的随机演化，有怎样的内在统一？

统计物理的核心，不是多记一批公式，而是学*一套在“大系统”面前仍能保持清醒的语言：如何在微观层面用相空间、系综和概率分布刻画一个体系；如何在宏观层面用热力学势、熵和序参量提炼出少量有效变量；以及如何在二者之间建立可演算、可解释、可推广的联系。

本系列课程训练学*者从已知的微观模型出发，建立宏观物理量的能力，并从统计物理的观点重建热力学。手段是力学中的相空间，引入相空间中的相密度，建立系综的概念，用配分函数统一生成热力学量与涨落，以三种常用的系综为例子，训练学*者在不同物理情景下选择合适系综和控制变量的能力。在此基础上，简介量子统计，介绍如果研究的系统具有量子性，应当如何思考统计物理问题，以及经典极限如何从量子描述中自然涌现。

非平衡统计物理远远没有完善。本课程最后我们将以相变与非平衡统计中的若干常用理论为窗口，展示统计物理的现代视野：临界点附近的强涨落和长程关联，如何通过临界指数、标度律与重整化群获得“普适”的刻画；布朗运动、朗之万方程和 Fokker–Planck 方程，又如何让研究者能够了解最终必然走向平衡的一类“没有远离平衡”的非平衡过程。平衡与非平衡、经典与量子、宏观定律与微观随机，在这里被写入同一套统计物理的思维框架。

学*完本课程，你应当不仅能解题，更能在遇到新系统时，迅速判断：哪些是关键自由度？哪些是有效宏观量？该选哪一种系综和近似？应当如何从统计物理的角度思考问题？统计物理在此不只是解释热现象的一门理论，而是一种在高维复杂世界中组织信息、发现结构、提炼规律的方式。

课程大纲

课程讲师

李永乐，现任上海大学理学院物理系副主任、教授、博士生导师，上海市“青年东方学者”，主要从事计算原子分子物理研究，涵盖量子动力学、化学物理、分子铁电及人工智能量子蒙特卡洛等领域。2002-2006年就读于天津大学应用化学专业，期间在山东大学化学院交流，2006-2011年获南京大学理论化学博士学位，2012-2015年先后于新墨西哥大学、纽约大学从事博士后研究。2019-2021年访问加州理工学院13个月。开设“玩转量子世界”在线科普课程。长期讲授大学物理、统计物理、计算物理等课程。

个人官方主页：https://physics.shu.edu.cn/info/1082/1166.htm

知乎主页：https://www.zhihu.com/people/yongle-li-86

课程目标

建立清晰的微观—宏观对应物理图像，掌握热力学分析与求解问题的基本思路和基本方法。熟练掌握 Boltzmann 统计方法，并能在近独立子系模型中灵活应用，理解 Boltzmann 的核心科学思想。在经典力学框架下引入相空间与系综理论，系统掌握经典统计力学的三种典型系综及其应用，能够描述几乎无相互作用的热平衡系统。结合量子力学与系综理论，引入密度矩阵表述，掌握量子统计力学的基本结构及典型应用。理解相变与临界现象的基本概念与主要理论方法，认识其中的普适性思想。理解非平衡统计物理的基本概念与主要理论方法，初步掌握典型模型与分析工具。

课程特色

概念清晰、*题精选：老师主导的系统教学。李永乐老师亲自设计每讲内容，系统讲解核心概念与关键推导，并精心挑选典型*题，帮助你迅速从“听懂”到“会用”。课后模板化复盘：助教辅助结构化学*。助教课后提供统一的复盘模板，包括核心关键词、关键公式、物理图景和知识迁移场景，引导你高效完成结构化复*和笔记整理。强化物理图景与直觉：“不止会算，更要看见”。课程突出物理图像与简单模型，通过气体分子、谐振子、自旋、量子气体等直观案例，训练你对统计物理的直觉与物理思维，而非单纯的公式计算。问题驱动教学：与真实研究场景紧密结合。以“复杂系统为什么难建模？”、“如何描述开放系统？”、“临界现象意味着什么？”等真实问题为导向，自然过渡到非平衡与复杂系统的深入探索，为你未来的研究奠定坚实基础。

课程详情

1、宏观热力学量之间的关系？——热力学量、热力学基本定律、麦克斯韦关系、特性函数

当我们谈论“温度、压强、自由能”时，其实是在和无数看不见的自由度打交道。但真实的实验总是只引用系统的少数宏观热力学量。本节课程总结将会在整个课程之内应用到的热力学知识，帮忙建立知识体系。特性函数与热力学势，是针对不同控制条件选取的“坐标系”；麦克斯韦关系与 Gibbs–Duhem 方程，则在这些坐标系之间织出隐含的约束网络。

通过本节，你需要*惯的不是背公式，而是在具体物理情景下选择合适的热力学势，运用麦克斯韦关系与基本关系式，透过茫茫公式，把看似杂乱的问题化为可计算、可直观理解的结构。

课程重点：

热力学特性函数及其基本关系式积分因子与熵的热力学定义麦克斯韦关系多元系的热力学基本关系式欧拉齐次函数定理与Gibbs-Duhem方程

课程难点：

根据问题，选取热力学特性函数，通过麦克斯韦关系推导出相关公式，计算热力学量。

2、熵究竟“数”的是什么？——热力学的统计基础

宏观上，一个平衡态只需温度、压强等少数量描述；微观上，同一宏观态却对应大量粒子排布。本节从宏观态与微观态入手，介绍“前统计力学”也就是十九世纪的统计方法，引入微观状态数 W 及其计算方法，借助 Boltzmann 统计推得熵的公式 S = klnW，理解熵究竟“数”的是什么。以经典理想气体为例，我们把状态方程与微观分布联系起来，并通过混合熵与 Gibbs 佯谬的分析，看清粒子不可分辨性的角色，从而把热力学中的熵与统计物理图像对应起来。本部分内容虽然只适用于理想气体，但却是统计力学讨论问题的起点。而且在其他离散概型以及独立同分布随机变量描述的问题中，也因为方法简单、直观，具有广泛应用。

课程重点：

微观状态数Boltzmann统计法

课程难点：

熵的统计物理意义熵的统计公式Gibbs佯谬

3、多体系统的状态如何描述？——相空间与系综理论基础

宏观上，一个经典物理的多体系统由温度、压强、体积等宏观物理量刻画；微观上，该系统可以描述为一个在高维相空间中运动的相点。本节从经典相空间和相轨迹出发，引入 Liouville 定理，说明相流“不可压缩”，为在相空间上讨论概率分布奠定基础。随后建立系综与微正则系综的概念，以自由粒子、谐振子等典型系统为例，讲解相空间体积和相格大小的计算，把经典物理的状态计数与经典相空间联系起来。最后讨论遍历假设，在何种条件下可用系综平均替代时间平均，从而把相空间图像与实际测量结果统一起来。

课程重点：

相空间相格大小

课程难点：

系统概念遍历假设

4、如何描述恒温系统？——正则系综与配分函数（2次课程）

当系统具有确定的温度、压强等宏观物理量，而不是总能量的时候，能量不再守恒。此时如何运用统计物理的思想讨论宏观热力学量？本节从恒温热平衡出发，引入正则系综中能级概率的 Boltzmann 分布形式，以配分函数Z为核心，讲解如何通过统计方法，如何从微正则系综出发，获得系统的内能、熵、压强等宏观热力学量，并讨论较严格的鞍点近似法推导。

对经典体系，我们用理想气体与谐振子为例，具体展示正则系综的构造及能量涨落，并在此基础上推导能均分定理和 Virial 定理，说明每个自由度“平均分得”能量的严格含义。进一步通过顺磁性和具有能谱上界的系统，引出负温度的统计描述，使恒温系综下的能量分布图像更加完整。

课程重点：

正则配分函数能均分定理、不同系综中的熵表达式

课程难点：

典型系统的正则系综描述鞍点法求解统计物理问题。

5、粒子数不再固定，会发生什么？——巨正则系综与开放体系

在前面两种系综中，体系的粒子数始终固定；而许多实际系统，如吸附、化学反应、开放量子体系中，粒子可以由环境进入或离开系统，而总粒子数并不确定，粒子数本身就是涨落量。

本节从与热源和粒子源共同构成热平衡的开放体系出发，建立巨正则系综中对系统的描述，用化学势来讨论粒子数的统计特性，并通过巨正则配分函数统一生成平均能量、平均粒子数及其涨落等统计量。以理想气体和谐振子为例，我们给出具体的巨正则构造和能量、粒子数扰动的分析。最后系统比较微正则、正则与巨正则三种系综的关系，说明在适当的极限下它们给出等价的宏观热力学结果，并讨论巨正则配分函数计算中的典型技巧与难点。

课程重点：

三种系综的关系

课程难点：

巨正则配分函数的计算

6、考虑量子效应以后，统计规则如何改变？——量子统计基础与简单气体

经典统计把粒子当作可区分的“小球”，并认为能量可以连续变化。但在量子力学中，全同粒子的态空间与计数方式发生根本变化。本节在系综理论的量子化基础上，引入密度矩阵作为统一描述，分别给出微正则、正则和巨正则三种量子系综的表述，并从单粒子密度矩阵出发，讨论自由粒子、谐振子以及磁场中电子等典型体系。随后转向由全同粒子构成的系统，推导自由粒子气体在量子系综中的密度矩阵与配分函数，引出平均占据数的概念，说明考虑粒子的量子全同性之后的 Bose / Fermi 统计与经典 Maxwell–Boltzmann 统计在占据数上的本质差异，并简要讨论分子内部运动中的量子统计效应，为后续具体量子气体模型奠定基础。

课程重点：

密度矩阵平均占据数

课程难点：

粒子全同性的统计效应

7、相变与非平衡现象如何描述？——相变与非平衡统计初步

在相变临界点附近，水沸腾和磁体消磁这类现象都表现出强涨落和长程关联，空间结构不再简单。本节首先通过引入序参量、临界指数和标度律，刻画临界现象中的普适性，并用重整化群的粗粒化思想勾勒其理论框架。随后讨论非平衡统计物理，以布朗运动为例，引入朗之万方程、Fokker–Planck 方程和主方程，说明如何用概率分布的演化来描述非平衡体系。通过对比空间中的临界涨落与时间中的随机演化，初步体会关联函数在平衡与非平衡统计中的统一作用。

课程重点：

序参量与临界指数布朗运动简单描述

课程难点：

重整化群的概念非平衡统计中的关联函数概念

推荐参考教材

刘川，《热力学与统计物理》，北京大学出版社，2024年。这本书是标准的二十一世纪的观点的统计物理教程。内容比较“干”，缺乏相关的例子。类似朗道《力学》，好处是快速掌握本课程的主线，不足之处是学*完毕难以获得解决具体问题的技能。卢文发，《量子力学与统计力学》，上海交通大学出版社，2013年。为了教大2非物理系学生量子力学和统计力学所写，但是并没有削足适履，而是仅基于高数和大学物理的基础，把相关的知识都补进去了。好处显而易见，需要补的课都在书里，不需要再另买数学物理方法、经典力学、电动力学等教材，就可以快速把握量子力学与统计力学的脉络。网上还有200小时公开课：https://www.bilibili.com/video/BV134411Y7dZ/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click秦思学，《统计物理简义》。秦老师的书的最大优点，是全彩印刷，图片都是自己精心制作的。大量的示意图让读者更容易理解抽象概念。特别是172页总结统计力学的解决问题思路，跟我给学生手画的一样（画之前还没看到这张图），颇有大呼“英雄所见略同”、惺惺相惜之感。但相应的缺点也有，许多数据没有标明出处，过于自治（self-conteined），无法给学生启发，让学生探索各种真实数据的来历。还有一些图片的参数没有给出，不利于学生自行绘制插图。要知道，现在的学生一般大一就学*了Python，Matplotlib大多数人都会，好多同学颇喜欢自己重制书中的插图。应当给他们机会。书中也必然涉及到许多聪明的读者喜欢刨根究底的内容，如“经典相空间的点为何有单位大小”之类的问题。很可惜，书中没有给出答案和“藏宝图”。这是不大舒服的阅读体验。很可能跟我从高中开始，阅读过不少北大教材，如彭桓武的《理论物理基础》，会在关键的地方给出关键的引用，以及一些历史经典文献；而秦老师参考的W. Greiner（有一段只有Greiner书上有，被我发现了），也适当给出了关键的深入阅读文献。但瑕不掩瑜，秦思学老师的量子统计两章是我至今见到的最完善的内容了。刘川老师的灰皮《热力学和统计物理》失之简略，其他的书详略不当，且量子统计没有给予正常的地位，大都放在“Boltzmann统计法的B-E分布和F-D分布”里边讲。这本书的“量子统计”包含两章，前一章较为充分地讨论了量子统计的一般思路，并讲授了密度矩阵入门；后一章包含了流行的应用举例，非常适于复*和考试使用。书里的插图也较为完善，除了一些比较冷门的图如“量子理想气体的化学势与温度关系图”之类，该有的基本上都有了。但还是非常大的遗憾：数据没有标明出处、没有提供合适的进阶阅读材料。J. P. Sethna, Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity , 2nd Edition, Oxford University Press,2021. 内容丰富且现代，比如说Quantum Boltzmann Statistics这个文献里常用的用语，我在别的地方找不到，只有这本书里有。2022年第二版新增100道自己精心设计的*题。R. K. Pathria and P. Beale, Statistical Mechanics, 4rd Edition, Academic Press, 2021. 内容比较全面，讲解比较细，实际上是一本研究生级别的教材，初学者可以参考，不建议主攻这本书。而且Pathria毕竟不是全面的大物理学家，有些部分他自己不做的就是抄别人的书了。比如Virial定理部分抄了《Theory of Simple Liquids》。非平衡部分，布朗运动写的较细，但是从Master equation推Fokker-Plank方程时又开始省略大段推导，估计是又不擅长了。相变写的比较冗长，不如阅读马上庚的《相变与临界状态现代理论》入门快。偏向凝聚态理论、量子光学方面应用的统计物理的内容写的不够细致。好在第四版中，合作者Beale是做AMO方面的，添加了eigenstate thermalization, many body localization, Jarzynski等式等现代内容。目前量子统计讲的最好教材的就是这本书了。Swendsen, An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics, Oxford University Press,2012，基础概念讲得清晰，适合入门。Mehran Kardar, Kardar, Statistical Physics of Particles, Cambridge University Press,2007，详略得当，非常轻松的入门教材。虽然是给研究生上的，但目前由于美国的大学讲究博雅教育（liberal art），美国的研究生院开出的课程，难度一般只比比国内本科稍高一点。Mehran Kardar, Statistical Physics of Fields, Cambridge University Press,2007 这部分是真正的研究生难度，观点现代，值得参考。Werner Krauth, Statistical Mechanics: Algorithms and Computations, Oxford University Press,2006 这本书在Coursera上有配套的课程，强调计算机模拟，学*这套课程同时可以获得扎实的Python编程计算技能，一举两得。Kerson Huang, Statistical Mechanics, 2nd Edition, 1986，是一本标准的热力学和统计力学教程，但内容比较老。具体例子和一些推导细节值得参考，不建议第一次学*使用。其余的书如王竹溪、汪志诚、Greiner、李政道等等，内容陈旧，用语已经不是二十一世纪科研文献中普遍使用的了。书中一些例子值得参考，特别是李政道作为李-杨相变理论的创始人之一，讲解自己的理论肯定是最好的参考，但不建议采用这些书来进行入门学*。还有的书内容很好，但偏抽象，难度较高，是研究生级别的参考书。有经验的学*者自然可以获得更高的观点，如Brian Cowan、Barry McCoy、Daniel Mattis、Franz Schwabl的等等，但对于初学者不建议阅读。

课程适用对象

需要用统计物理做研究的理工科学生与研究者物理、材料、天文、计算科学、工程、生命科学等方向的高年级本科生、研究生或科研人员；在工作中会接触到多粒子系统、热力学、相变、复杂系统、非平衡过程等问题，希望系统补齐统计物理基础；具备基础高等数学与经典力学知识（微积分、线性代数、常微分方程），对概率论/热力学有初步了解更佳。对“微观如何构成宏观”有强烈兴趣的学*者想搞清楚温度、熵、自由能、相变、临界现象等概念背后真正含义，而不仅停留在公式操作的人；对气体动理论、系综理论、量子统计等主题有兴趣，希望建立整体物理图景。愿意用理论连接现实问题的学*者希望将统计物理方法迁移到自己关心的对象上（如材料、气候、活性物质、生态/金融系统、模型训练等）；乐于在课堂中提出问题、参与推导与讨论，不满足于“会做题”，而希望获得可复用的思维与直觉。

报名须知

课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。课程周期：2025年12月15日-2026年2月2日，每周一晚18点-20点进行。课程定价：原价799，早鸟价639，早鸟优惠截止到2025年12月15日中午12点。

付费流程

扫码付费；课程页面添加学员登记表，添加课程负责人微信入群；课程可开发票。

课程奖学金机制

1.途径一：参与字幕工作任务

为了鼓励学员深度参与、积极探索，形成系列化知识传播成果，构建课程知识共建社群。我们设立了激励机制，让您的学*之旅充满收获与成就感。

在每期课程结束后，我们会发布课程共创任务，学员通过完成共创任务可以加深对课程内容的理解，在完成共创任务后，学员也可以获得积分奖励，积分可用于兑换其他读书会课程、实物奖品。积分累计达到500元，可以申请提现。本系列课程的共创任务为字幕任务，具体为：在每期课程录播上线集智学园后，人工校对AI识别的课程视频字幕，字幕任务会在课程群进行发布。

2.途径二：发布高质量课程笔记

在集智斑图网站（pattern.swarma.org）完成本课程体系下某个方向的总结文章或学*路径。经集智学园助教团队评定认可后，可作为一条贡献。一条贡献奖励200元奖学金，质量优异的内容，会有浮动奖励。可参考：

AI何以涌现：复杂适应系统视角的ChatGPT和大语言模型当机器学*遇见拓扑：拓扑数据分析与拓扑深度学*探索“AI 大统一理论”：科学启发的机器学*理论

3.途径三：招募课程助教1名

付费报名课程后，联系负责人微信申请课程助教。经沟通，成为正式课程助教，完成课程助教任务，在课程结束后退全额学费。

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