更新时间：作者：小小条
老黄为高数付出了无比的热情。这是一道与导数和极限、介值定理包括拉格朗日中值定理或罗尔中值定理等知识有关的高数解答题。老黄会为大家讲解教材的解法，并分享老黄自创的解法。希望大家能从中领会其中的解法思路，并对你有所帮助。
证明：设f在R上二阶可导，若f在R上有界，则存在ξ∈R，使f”(ξ)=0.
相信大家还是比较愿意先了解一下教材的解法吧。
证1：若f”(x)变号，则由导数的介值性知，存在ξ∈R，使得f”(ξ)=0. 【先确定这种情形是符合的。导数的介值性定理又称为“达布定理”，是《老黄学高数》系列视频第142讲所分享的内容。连续函数的介值定理，则当介值为0时，其实就是零点的存在性定理】
若f”(x)不变号，不妨设f”(x)>0, 则f’(x)单调增, 【f"(x)<0时，与下面的证明过程类似】
取x0使f’(x0)>0, 则当x>x0时，存在η1∈(x0,x)，使【虽然未必有f'(x0)>0，但不要着急，下面会分析f'(x0)<0的情形】
f(x)=f(x0)+f’(η1)(x-x0)>f(x0)+f’(x0)(x-x0)→+∞(x→+∞)，【前面的等式是拉格朗日中值定理的应用，后面的不等式是因为f'(x)单调增，所以f'(η1)>f'(x0)。最后的函数是过一、三象限的一次函数，所以当x趋于正无穷时，f(x)也趋于正无穷，那么函数就没有上界】
若f’(x0)<0，则当x<x0时，存在η2∈(x,x0)，使【这就开始分析f'(x0)<0的情形了，注意，此时所取区间与上一种情形在形式上是相反的。两种情形必有其一】
f(x)=f(x0)+f’(η2)(x-x0)>f(x0)+f’(x0)(x-x0)→+∞(x→-∞)，【前面的等式仍运用的是拉格朗日中值定理，后面的不等式是因为f'(x)单调减，所以f'(η1)>f'(x0)。最后的函数是过二、四象限的一次函数，所以当x趋于负无穷时，f(x)趋于正无穷，函数仍没有上界】
结论与题设f在R上有界矛盾. 【两种情形都与函数有界矛盾，所以f"(x)必变号。回到一开始假设的第一种情况，它却是必然的】
∴存在ξ∈R，使f”(ξ)=0. 得证！
接下来分享老黄自创的方法。高数题若不能用自创的方法求解，就不算已经学会并理解了哦。
证2：依题意，lim( x→∞)f(x), lim( x→∞)f’(x) 都存在, 【可导，所以连续，因此两者都存在。如果lim( x→∞)f’(x)趋于无穷，f就无界。在老黄的上一个作品中，证明过，这两个极限存在时，有下面的结论】
∴lim( x→∞)f’(x)=0.
若f’(x)≡0, 则f”(x)≡0，得证!【和证法1类似的，先分析一种特殊的情形。与证法1不同的是，证法1中的特殊情形其实是必然的。而这个特殊情形的确就真的只是一种特殊情形而已】
若存在点x0, 使得f’(x0)≠0, 不妨设y0=f’(x0)>0. 【y0<0时，与下面的证明过程类似】
则对任意0<r<y0 , 必存在a<y0<b, 由连续函数的介值定理，【其实也是极限的保不等式性决定的，不过极限的保不等式一般*惯上认为只是在极小的邻域上研究的，即是一个相对微观的概念，而介值性定理则相对比较宏观】
有ξ1∈(-∞, a), ξ2∈(b, +∞), 使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=r, 由罗尔中值定理知,
至少存在一点ξ∈(ξ1, ξ2)⊂R, 使得f”(ξ)=0. 得证！
那你能不能也写一个自己的证法呢？
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