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全概率公式是解决复杂概率问题的“手术刀”，其核心思想是 “分而治之”。

一、公式定义：先分后总

若事件组 A₁, A₂, …, Aₙ 满足：

1. 两两互斥（不会同时发生）；

2. 并集为全集（涵盖了所有可能情况）；

3. 每个 P(Aᵢ) > 0。

则对任一事件 B，其概率为：

P(B) = P(A₁)P(B|A₁) + P(A₂)P(B|A₂) + … + P(Aₙ)P(B|Aₙ)

通俗理解： 把复杂事件 B 的发生，按不同“原因”或“途径” Aᵢ 拆开计算，最后汇总。

二、经典模型：“原因推结果”

公式的经典应用场景是 “由原因推结果”。

Aᵢ 代表各种可能的原因或前提条件。

B 代表我们关注的结果。

P(B|Aᵢ) 代表在某个特定原因下，结果发生的概率。

计算步骤：

1. 找完备事件组：找出所有互斥且完整的前提条件 A₁, A₂, …。

2. 算原因概率：确定每个原因发生的概率 P(Aᵢ)。

3. 算条件概率：确定在每种原因下，结果 B 发生的条件概率 P(B|Aᵢ)。

4. 代入求和：将上述值代入公式计算 P(B)。

三、实例精讲

题目（买手机）：

小明等可能地从甲、乙、丙三个渠道买手机。从甲、乙、丙买到的概率分别为 2/3,4/5, 1/6。求他成功买到手机的概率。

拆解与计算：

1. 完备事件组：选甲(A₁)、选乙(A₂)、选丙(A₃)，且 P(A₁)=P(A₂)=P(A₃)=1/3。

2. 条件概率：P(B|A₁)=2/3, P(B|A₂)=4/5, P(B|A₃)=1/6。

3. 代入公式：

P(B) = (1/3 × 2/3) + (1/3 × 4/5) + (1/3 × 1/6)

= 2/9 + 4/15 + 1/18

= 53/90

题目（近视率）：

某校学生30%近视。已知40%的学生每天玩手机超2小时，这些学生中60%近视。求玩手机不超过2小时学生的近视率。

拆解与计算：

1. 完备事件组：玩手机>2小时(A₁), 玩手机≤2小时(A₂)。P(A₁)=0.4, P(A₂)=0.6。

2. 已知条件：总近视率 P(B)=0.3，超时者的近视率 P(B|A₁)=0.6。

3. 代入公式求未知：

0.3 = 0.4×0.6 + 0.6 × P(B|A₂)

0.3 = 0.24 + 0.6 × P(B|A₂)

P(B|A₂) = (0.3 - 0.24) / 0.6 = 0.1

四、核心要点与易错提醒

关键前提：必须确保 Aᵢ 们“互斥”且“完备”，这是使用公式的基石。

思维路径：当问题背景有 “多种途径/原因导致一个结果” 时，应优先考虑全概率公式。

关联公式：全概率公式常与 贝叶斯公式（由果溯因） 结合使用，构成概率论中解决问题的完整闭环。

避免错误：切勿在事件划分未完成或条件概率不清时直接套用公式。

掌握全概率公式，关键在于学会对复杂事件进行有效分类

通过将整体概率转化为几个部分条件概率的加权和，它让许多看似棘手的概率计算变得清晰、直接，是高中数学概率板块必须熟练掌握的利器。

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