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高中数学—导数突破(四、通过零点赋值解决“找零点”难题)

更新时间:作者:小小条

通过前面几讲内容,大家已经了解到,解决导数问题的一个最重要的“抓手”,就是“找零点”。

高中数学—导数突破(四、通过零点赋值解决“找零点”难题)

因为导函数的零点,往往就是原函数的极值点,只有先找到零点,才能有单调区间的判断,才能继续往下走,而且还有许多题目本身就是让你判断函数有没有零点。

实际上,在高一刚开始学*函数知识时,就已经学过判断函数零点的方法,就是零点存性定理:

上述定理是我们判断零点的根本依据,在前面讲“隐零点”时,也是根据这个来判断的。我们前面讲“隐零点”,是设而不求,因为那个情况不求出零点,并不影响我们对问题的回答。

但是,如果问题必须就让我们非要把零点找出来才能往下走,那就对我们提出了更高的考验。首先,肯定不会让你轻易直接就能把零点给求出来,这个太简单,不会用于选拔性考试。第二,如果不能直接解出来,就要利用零点存在性定理,这时候,就需要进行“零点赋值”,由我们自己猜一个数,若这个数是常数,则称之为常数赋值,若这个数是个参数,则称之为参数赋值,赋值的目的是让我们明确零点存在的区间。

零点问题是高考的热点,也是高考内容中难度最高的内容之一,下面我们举一个2020年浙江高考的压轴大题的第一问来说明。

上面这题是演示了常数赋值找零点,这两个常数相对来说,比较好找,因为根据所给的条件,很容易找到这两个数。“0”是肯定要找的,因为它的函数定义域的下限,而这道题我们虽然只找了“2”这个数,实际上,你找比“2”大的任何数都可以,因为都很容易得出结论。

下面再看一道有关参数赋值的题。

你可以好好体会一下分析问题的逻辑,在这里面,又用到了一个指数放缩,你可以自己证明一下,在上面的解答过程中,需要这个补证过程。所以说为什么经典不等式不能直接用,还需要你记,就是因为只有你知道存在这个,才会往这个方向去简化,它是让你记方向。

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