一、核心判定三法则

法则1：定义法（距离验证）

公式：直线到圆心距离d=半径r → 直线为切线；计算步骤：
① 求圆心到直线距离d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)；

② 对比d与r：若d=r，则直线为切线.
真题：直线3x+4y−25=0与圆x²+y²=25 → d=25/5=5=r，是切线.

法则2：定理法（垂直半径）

条件：直线过圆上一点且与该点半径垂直 → 直线为切线；几何证明：
① 连接圆心O与交点P；
② 证OP⊥直线l.
典例：圆上点P(3,4)，圆心O(0,0)，直线l斜率k=−3/4 → OP斜率4/3，k×4/3=−1 → l为切线.

法则3：代数法（Δ=0）

联立方程：直线与圆方程联立，消元得一元二次方程；判定：若判别式Δ=0 → 直线为切线.
公式链：
直线y=kx+b与圆(x−a)²+(y−b)²=r²联立 → 消y得Ax²+Bx+C=0 → Δ=B²−4AC=0.

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二、高频模型与动态分析

模型1：双切线问题

外点引切线：点P在圆外，PA、PB为切线 →
✓ PA=PB=√(OP²−r²)；
✓ ∠APB=2∠OPA.
真题：点P(5,0)，⊙O:x²+y²=9 → 切线长=√(25−9)=4.

模型2：切割线定理

公式：PA²=PB×PC（P为圆外点，PA为切线，PBC为割线）；应用：已知PB=3，PC=12 → PA=√(3×12)=6.

模型3：动态切线判定

动点轨迹：圆上动点P，使某直线恒为切线 → 轨迹为同心圆；参数方程：设动点P(x,y)，利用d=r建立方程.
典例：直线y=kx+2始终与⊙M相切 → 圆心M到直线距离恒为r → k与r满足|k·a−b+2|/√(k²+1)=r.

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三、跨题型渗透与命题变形

1.函数融合题

抛物线切线：求抛物线与圆公切线 → 联立方程Δ=0；真题：抛物线y=x²与圆x²+(y−2)²=r²有公切线 → 联立后Δ=0 → r=1.

2.坐标系最值

最小切线长：点P到圆上动点Q的最小距离=OP−r；公式：min(PQ)=√(OP²−r²)−r（当P在圆外时）.

3.几何综合题

与三角形结合：直角三角形内切圆切线性质 → 切线长=半周长−对边；示例：Rt△ABC中，内切圆切三边于D,E,F → AD=AF=(AB+AC−BC)/2.

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