一、核心概念：命题与四种命题

1. 命题的定义

能判断真假的陈述句叫做命题。

特征 1：必须是陈述句，疑问句、祈使句（如 “打开书”）、感叹句都不是命题。特征 2：能明确判断 “真” 或 “假”，无法判断真假的语句（如 “x>5”，x 未知）不是命题。示例：“若 a>b，则 a²>b²” 是命题（假命题）；“今天天气好吗？” 不是命题。

2. 四种命题的关系

以原命题 “若 p，则 q”（p 为条件，q 为结论）为基础，衍生出另外三种命题：

命题类型	结构	与原命题的关系
原命题	若 p，则 q	-
逆命题	若 q，则 p	互逆，真假性不一定相同
否命题	若 ¬p，则 ¬q	互否，真假性不一定相同
逆否命题	若 ¬q，则 ¬p	互为逆否，真假性一定相同

关键结论：判断命题真假时，若原命题难判断，可优先判断其逆否命题（等价命题）。

二、命题的连接词：且、或、非

连接词用于将简单命题组合成复合命题，核心是明确其真假判断规则。

连接词	符号	复合命题结构	真假判断规则
且（联言命题）	∧	p ∧ q	同真才真，只要有一个假，则整体假
或（选言命题）	∨	p ∨ q	同假才假，只要有一个真，则整体真
非（否定命题）	¬	¬p	真假相反，p 真则 ¬p 假，p 假则 ¬p 真

注意：“或” 在数学中是 “可兼或”（如 “x>2 或 x<1”，包含 x 既满足前者又满足后者的情况），与生活中的 “不可兼或”（如 “选 A 或选 B”）不同。否定的易错点：“p ∧ q” 的否定是 “¬p ∨ ¬q”；“p ∨ q” 的否定是 “¬p ∧ ¬q”（否定全句，而非否定单个命题）。

三、全称量词与存在量词

量词用于描述命题中变量的范围，分为全称量词和存在量词，其否定是高频考点。

类型	量词符号	命题结构（示例）	命题否定（关键：量词变，结论否）
全称命题	∀（任意）	∀x∈M，p (x)（如 “所有偶数是 2 的倍数”）	∃x∈M，¬p (x)（“存在一个偶数不是 2 的倍数”）
特称命题（存在命题）	∃（存在）	∃x∈M，p (x)（如 “存在一个数是负数”）	∀x∈M，¬p (x)（“所有数都不是负数”）

易错点：否定全称命题时，不能只否定结论，必须将 “∀” 改为 “∃”；否定特称命题同理，将 “∃” 改为 “∀”。

四、充分条件与必要条件

这是逻辑用语的核心应用，用于判断两个命题 p、q 之间的推导关系。

1. 定义与符号

若 p ⇒ q（p 能推出 q），则称：p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。若 p ⇔ q（p⇒q 且 q⇒p），则称：p 是 q 的充要条件（充分且必要条件）。

2. 四种关系对比

推导关系	p 对 q 的作用	q 对 p 的作用	结论（p 是 q 的...）
p⇒q，q⇏p	能推出 q	推不出 p	充分不必要条件
p⇏q，q⇒p	推不出 q	能推出 p	必要不充分条件
p⇒q，q⇒p	能推出 q，q 也能推出 p	-	充要条件
p⇏q，q⇏p	推不出 q，q 也推不出 p	-	既不充分也不必要条件

3. 判断方法（高频技巧）

定义法：直接判断 p⇒q 和 q⇒p 是否成立。集合法：若 p 对应集合 A，q 对应集合 B：A⊆B ⇨ p 是 q 的充分条件；B⊆A ⇨ p 是 q 的必要条件；A=B ⇨ p 是 q 的充要条件。

五、常见易错点总结

混淆 “否命题” 与 “命题的否定”：否命题：否定原命题的条件和结论（如原命题 “若 p 则 q”，否命题 “若 ¬p 则 ¬q”）；命题的否定：只否定原命题的结论（如原命题 “若 p 则 q”，否定是 “若 p 则 ¬q”）。忽略量词的否定规则：否定时必须先改变量词（∀↔∃），再否定结论。充分 / 必要条件的方向搞反：“p 是 q 的充分条件” 是 p⇒q，而非 q⇒p。

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