更新时间：作者：小小条
1. 分离常数法
题目： 求函数 y = (2x - 1)/(x + 3) 的值域。
分析： 分子分母都含有x，且次数相同。使用"分离常数法"，将函数表达式变形，使得分子不含变量x。
解答：
(1)目标是让分子变成一个常数
y = (2x - 1)/(x + 3)
(2) 将分子配出与分母相同的部分(x+3)
2x - 1 = 2(x + 3) - 6 - 1 = 2(x + 3) - 7
(3) 代入原式：
y = [2(x + 3) - 7]/(x + 3) = 2(x + 3)/(x + 3) - 7/(x + 3) = 2 - 7/(x + 3)
(4) 7/(x + 3) 是反比例函数的形式，不可能等于0
所以 y = 2 - 7/(x + 3) ≠ 2
(5) 函数的值域是所有不等于2的实数
答案： {y | y ∈ R 且 y ≠ 2} 或 (-∞, 2) ∪ (2, +∞)
2. 判别式法
题目： 求函数 y = (x² - x + 1)/(x² + x + 1) 的值域。
分析： 分子分母都是二次式。可以将其看作关于x的方程，利用判别式Δ ≥ 0来求解y的范围。
解答：
(1)将函数式变形：
y = (x² - x + 1)/(x² + x + 1)
y(x² + x + 1) = x² - x + 1
yx² + yx + y - x² + x - 1 = 0
(y - 1)x² + (y + 1)x + (y - 1) = 0
(2) 将此等式视为关于x的一元二次方程
由于原函数定义域为R（分母x² + x + 1的判别式小于0，恒大于0）
这意味着关于x的方程必须有实数根
(3) 根据一元二次方程有实根的条件：判别式Δ ≥ 0
这里 a = y - 1, b = y + 1, c = y - 1
Δ = b² - 4ac = (y + 1)² - 4(y - 1)(y - 1) ≥ 0
(y + 1)² - 4(y - 1)² ≥ 0
(4) 展开并化简：
[y² + 2y + 1] - [4(y² - 2y + 1)] ≥ 0
y² + 2y + 1 - 4y² + 8y - 4 ≥ 0
-3y² + 10y - 3 ≥ 0
3y² - 10y + 3 ≤ 0
(5) 解这个一元二次不等式：
方程 3y² - 10y + 3 = 0 的根为 y = 1/3 和 y = 3
所以不等式的解为 1/3 ≤ y ≤ 3
(6) 注意特殊情况：当 a = y - 1 = 0 即 y = 1 时
原方程退化为一次方程 2x = 0，有解 x = 0
所以 y = 1 是成立的，它包含在 [1/3, 3] 区间内
答案： {y | 1/3 ≤ y ≤ 3} 或 [1/3, 3]
3. 换元法
题目： 求函数 y = x + √(1 - 2x) 的值域。
分析： 函数中含有根式 √(1 - 2x)，通过换元，令整个根式为新变量t，将原函数转化为关于t的二次函数。
解答：
(1)令 t = √(1 - 2x)，根据根式定义，有 t ≥ 0
(2) 由换元式可得：t² = 1 - 2x，所以 x = (1 - t²)/2
(3) 将x和t代入原函数：
y = (1 - t²)/2 + t = -1/2 × t² + t + 1/2
(4) 得到关于t的二次函数，且 t ≥ 0
y = -1/2 × (t² - 2t) + 1/2
= -1/2 × [(t - 1)² - 1] + 1/2
= -1/2 × (t - 1)² + 1
(5) 这是开口向下(-1/2 < 0)的抛物线，顶点在(1, 1)
当 t = 1 时，y_max = 1
由于定义域是 t ≥ 0，且抛物线开口向下
所以y没有最小值，会随着t远离1而趋向负无穷
当 t → +∞ 时，y → -∞
答案： {y | y ≤ 1} 或 (-∞, 1]
4. 图像法（数形结合）
题目： 求函数 y = |x + 1| + |x - 2| 的值域。
分析： 函数含有两个绝对值。处理方法：分区间讨论，去掉绝对值符号，将函数变成分段函数。
解答：
绝对值零点为 x= -1 和 x = 2。将数轴分为三个区间：
(1) 当 x ≤ -1：
x + 1 ≤ 0, x - 2 < 0
所以 |x + 1| = -(x + 1), |x - 2| = -(x - 2)
y = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1
这是减函数。当 x = -1 时，y = -2 × (-1) + 1 = 3
(2) 当 -1 < x ≤ 2：
x + 1 > 0, x - 2 ≤ 0
所以 |x + 1| = x + 1, |x - 2| = -(x - 2)
y = (x + 1) - (x - 2) = 3
在这个区间内，函数值恒为3
(3) 当 x > 2：
x + 1 > 0, x - 2 > 0
所以 |x + 1| = x + 1, |x - 2| = x - 2
y = (x + 1) + (x - 2) = 2x - 1
这是增函数。当 x = 2 时，y = 2 × 2 - 1 = 3
结论：
在区间(-1, 2]上，函数值恒为3
在x ≤ -1和x > 2的区间，函数值y > 3
函数的最小值是3
答案： {y | y ≥ 3} 或 [3, +∞)
总结
这四道题代表了四种核心的求值域方法：
1. 分离常数法：适用于分子分母同次的分式函数，化为一常数加一反比例函数的形式
2. 判别式法：适用于可化为关于x的二次方程的函数，利用方程有实根的条件Δ ≥ 0来求y的范围
3. 换元法：当函数解析式中含有根式、高次项等复杂结构时，通过换元简化函数形式
4. 图像法（分类讨论）：对于绝对值函数、分段函数等，画出图像是求值域最直观、最可靠的方法
希望这四道经典例题能帮助你巩固知识！学会方法，勤加练*，你就能在函数的世界里游刃有余。
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