更新时间：作者：小小条
数学证明可太重要了，可以说：
没有证明就没有数学。
泰勒斯，他生活在距今2600年前——准确地说，他生于公元前624年。
这个时期大概是中国春秋时期的中段，比咱们的孔子、老子早个六七十年。
那个时候，古希腊人对世界的理解主要依赖神话——
对于不理解的事物，总会用神话解释。
因为他们发现地震总是伴随海啸，所以他们就觉得这都是波塞冬一个人的行为。
等等，很多很多。
其实他们跟其他早期文明差不多：
对世界的认识没有那么多，就会神神叨叨。
不仅解释，还用神谕、占卜那一套来做决策。
像咱们商朝的时候，大事小事都占卜，哪怕牙疼了也问问神，是不是我得罪了谁？
古希腊人也是，只是他们的神话系统和我们的有差别而已。
正是在这种环境下，泰勒斯竟然创造性地提出：大地浮在水面上，万物起源于水。
因为有些神话里说陆地是在乌龟壳上，被大乌龟拖着在海洋上行走。
但泰勒斯说这句话并不是神话，而是他的观察。
他生活在古希腊港口米利都，这个地方靠着爱琴海，每天海浪拍岸，可不就是像大地在水上飘着嘛！
现代科学不就证实生命起源于海洋嘛！
很多后世的人就说这句话太了不起了，说明他当时已经有了先见之明。
其实，也不是——
这样说就等于在神话泰勒斯了，跟泰勒斯说这些话的本意，跟他的主张相悖了。
这句话其实意味着，古希腊人开始用理性去思考万物了。
不管万物起源于水还是石头还是奥林匹斯山，不重要，重要的是开始思考起源。
也就是从这儿开始，万物的本质和起源问题，开始成为古希腊哲学的重要命题。
到这儿你可能会问：在那个神神叨叨的年代，泰勒斯为什么会说出这样的话？
就比如泰勒斯。
他经常去埃及，在埃及法老们说你不是很智慧嘛，你给测量金字塔有多高。
泰勒斯就找一个有太阳的日子，站在金字塔前面，让助手测量他的影子。当他的影子与自己的身高完全相等的时候，立即记录金字塔的投影——这时候金字塔的高度就是影子的长度。
这说明什么？
那个时候古希腊的学者已经开始用观察和理性逐渐代替神秘解释。
虽然还是和一些神秘的东西扯在一起，但是理性已经开始渗透了。
上期我们说的毕达哥拉斯，虽然他搞出一套宗教体系，但是他的学派修行的是数学。
数学代表着理性，当理性占比越来越大，就不得了了。
这就是泰勒斯能说出这些话的原因。
也正是从他这里，古希腊开始摆脱神话，转向自然解释。
因此，他是古希腊哲学和科学之父。
02
数学证明
泰勒斯也修行数学，很多几何定理都是泰勒斯证明的：
有人就说：这些很简单，是显而易见的——能证明这些也没什么了不起。
不是的，我们详细来说。
几何中有公理——公理就是那些不证自明的东西。
作为被大家普遍接受的基本命题，公理不需要证明。
比如两点确定一条直线，任意线段都可以无限延长——这是公理，不需要证明。
而对顶角相等不是公理，需要证明。
证明也简单，比如α和β是一对对顶角，怎么证明对顶角相等呢？
泰勒斯的方法是把直线旋转180度。
这样会发现：对顶角重合在一起，于是它们相等。
如今看起来挺简单的，但细想来，这是很了不起的事——
了不起在泰勒斯首次引入了证明思想。
这些定理不是它的重要贡献，就像前文说的很简单，显而易见。
但证明思想很重要。
直觉上：
对顶角看起来就相等；一条通过圆心的直径就是能把圆分成两半；三角形里边相等，对应的角也相等……
然而，看起来是这么回事——这不是数学。
数学的语言是逻辑，必须用逻辑语言去证明它。
咱们数学上不说：看起来是，所以是，规律如此……这不是数学。
观察事物，找规律，做总结，这样的方法叫归纳。
比较常用在物理和化学，生物这些自然科学上。
包括现在学生学的科学。
课本上会说观察到什么，记录什么，然后总结——这就是归纳。
比如，观察夏天郑州连续10天，38度以上，推测第十一天大概率上还是38度以上。
我归纳的这个规律，是不是完全正确呢？不一定。
归纳法要想完全正确，必须穷举。
而我们不可能穷举所有的三角形，所有的天气，所有的线段。
所以，要像泰勒斯一样，必须设置任意的对顶角，一步步证明它们相等。
所以说引入命题证明思想，是数学的一次飞跃。
所谓的命题证明思想，就是用逻辑推理来确定数学命题的真实性。
比如，“两直线平行，同位角相等”这是一个命题。
接下来不能想当然。
要用逻辑来推理，推理之后，我们才能确定这个命题是真还是假。
如今初中生都很熟悉的证明：
这步通常最难，我们需要有思路，需要用已知条件去试。
证明这个同位角还是挺容易的，很复杂的几何证明就要各种思考。
证明很重要，我们说数学是正确，就是这个原因。
泰勒斯的命题证明，影响了很多人，比如毕达哥拉斯。
03
影响深远
毕达哥拉斯原想拜泰勒斯为师，但泰勒斯说我老了教不动了，让我的学生带你吧。
等于说毕达哥拉斯是泰勒斯的徒孙。
所以毕达哥拉斯继承了证明方法之后，还把这个证明方法发展得更完整了。
他说证明要更严格，从公理出发，再进行严格的公理化证明。
他还试图建立一个完整的，统一的数学体系。
等于说数学证明开始在泰勒斯的基础上逐步发展了。
毕达哥拉斯之后，柏拉图也重视数学，重视几何。
他和他的弟子们，在几何上往前发展了很多，证明出来更多定理推论。
他的弟子欧多克索斯在公理的基础上，建立了比例理论。
（上期说过分数比例，可以回头去看一下。）
欧多克索斯还引入了穷竭法——穷竭法说简单点就是逼近。
比如你画一个正方形，你要把它改成一个圆，你就要增加它的边。
你变成八边形，再变成12边，再变成20边……
就这样，每一步都让这个简单图形更接近目标图形。
那么当你的边足够多，你的多边形就跟圆的面积差不多了。
欧多克索斯完整了这个理论还有证明程序。
后来亚里士多德用这个方法，通过96边形，又结合勾股定理，最终算出来π的值。
后来他算球的表面积，还是用穷竭法逼近。
具体如何逼近，在这儿不说了，大家可以去看看公众号上的文章。
圆的面积，球的表面积、体积公式，是怎么推导出来的？
亚里士多德的逼近，很接近微积分了。
如果他多活几年，说不定就鼓捣出微积分了。
等于说，古希腊这些学者，互相启发，让数学发展了又发展。
到后来欧几里得写《几何原本》时：
古希腊数学家们已经建立了严密的数学逻辑；也演变成了一种用数学理解世界的思想体系。
《几何原本》从定义和公理出发，通过严密逻辑推导了很多定理。
包括平面几何的，立体几何的，还有部分数论内容。
它的重要性不仅在于具体的公式和定理，更在于它建立了严密的逻辑。
后来，古希腊，甚至现代科学，都受到这种逻辑框架的影响。
要不说现代科学，西方科学的源头是希腊呢。
包括后来牛顿写《自然哲学的数学原理》就是模仿《几何原本》的公理化结构写成的。
它是一个从公理开始，演绎数学体系的最早典范。
现代中小学数学教育中，平面几何与立体几何中的证明题和作图题，大约50%都来自《几何原本》。
几何原本少儿彩绘版 ￥37.3 购买这本书绝对值得买一本看看。
若是看不懂，可以看儿童版本的，儿童版本的，有配图，语言更通俗。
看的时候主要感受它证明和逻辑，这是数学跟其他学科的根本区别。
现在有人就不理解，说咱们的勾股定理比毕达哥拉斯定理大约早了500年，为什么反而叫毕达哥拉斯定理。
因为他是证明，咱们是规律发现。
其实很多古文明都发现了勾股数， 包括古埃及。
他们建造金字塔的时候，尼罗河每年泛滥后，他们重新测量土地的时候，都需要用到勾股数。
然而，不管埃及人，还是美索不达米亚人，咱们的老祖宗也好，都是发现了许多勾股数。
发现多了就直接拿来在生活中用了，没有进一步的去证明所有的直角三角形都符合，顶多也就走到了命题这一步。
推理了之后直接用，没有证明。
而毕达哥拉斯，是通过构造正方形的方式证明了这个定理。
这在数学上属于用严谨的逻辑把个例推广到了所有情况。
在这一点上没有人比他早或者有比他早的我们也不知道了，因为找不到资料。
所以数学界认可毕达哥拉斯定理。
——他生活在古希腊那样一个学术氛围里，等于得天独厚，也等于继承传统。
就像我们之前讨论过的，数学也要看当时的社会环境。
文化不同，数学发展方向不同。
好，本期分享就到这里。
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