几何最值是全国中考最热的模型考点，种类多，变换形式多样，历年中考压轴题目都涉及了线段最值的模型。姜姜老师利用空余时间进行汇总整编，力求最全最实用的模型知识。

两固定线段最值相对来说消耗的时间最长，如何更适合学生的应用及掌握，怎么分类才最合适，即不重合，又能联系一起。

16 两固定线段最值模型

01

类型一：一个定点和一个轨迹为定圆的动点

如图，已知定点A(A也可在圆内)和圆B上一动点P，且AB=d，圆B半径为r，易知当A、B、P三点共线时的AP有最大值d+r和最小值d-r。

拓展分析：

1.所用的原理为三角形三边关系，只有共线的时候才可以存在最大和最小值。

2.在旋转模型中的旋转最值，就是利用的这一模型

3.AP和PB为固定线段长度，所以为两固定线段的最值模型。

4.定点与固定线段都为解决此模型的关键突破口。

如图5，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2.将⊿ABC绕顶点C顺时针旋转得到⊿A′B′C,取AC中点E，A′B′中点P,连接EP，则在旋转过程中线段EP的最大值是 ，最小值是 .

分析：

连接CP可知CP=1,所以P的轨迹是定圆,所以此题即可转化一定点一轨迹为圆模型。定点为E，在直角三角形中，斜边中线等于斜边一半。所以CP固定长度。所以最大1.5，最小0.5。

典型例题

变式训练

如图6，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12,点D在边AC上且AD=4，连结BD，,将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值和最小值.

旋转应用：分析：因为BD=2CF，所以只需求BD的最值，而D的轨迹是定圆。

如图①，已知ABC是等腰直角三角形，角BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、分别在DG和DE上，连接AE、BG．

⑴试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．

⑵将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0度，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

⑶若BC=DE=2，在②的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

02

类型二：定边对定角（角不动）

有些可以构造三角形，利用三角形第三边大于两边之差小于两边之和，如图,A是定点，B、C是动点，当A、B、C三点共线时BC取到最值。

如图8(1)，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 .

分析：

并不是所有的轨迹都可以求出来，就算求出来初中生也不一定认识，比方说本题可以作DP⊥OA，设AP=a，DP=b，由相似可知OA=2b，所以点D的坐标可以假设为（x，y）=（b，a+2b），是一个椭圆，所以应该寻求新的方法.如图8(2)取AB的中点E,连接OE、DE、OD,构成三角形，显然OD≤OE+DE,可得最大值OE+DE.

拓展分析：

1.角AOB不变，AB的线段不变，可以知道OE不变，O为三角形OAB的外接圆。这也是定边对定角的实质内容。

2.角AOB还可以变为45，60，特殊的角度进行训练。

3.区分定角对定边的区别。

（未完待续）

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