更新时间：作者：小小条
中考概率计算突破：从路径枚举到决策优化
这两道“尖子生日练”概率题，代表了中考概率压轴题的两种高阶形态：几何模型中的古典概型与复杂系统中的可靠性分析。它们都要求超越基础公式，具备严谨的枚举能力、清晰的建模思维与基于数据的决策能力。
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此题在规则的网格中展开，完美训练了“有限等可能结果”的枚举与计算。
1. 最短路径的计数原理：从B到A（或D）的“最短路径”意味着只能向右（东）和向上（北）移动。从B到A需向右2格、向上3格，共计5步。所有走法数等于从5步中选择2步向右（或3步向上）的组合数，即C(5,2)=10种。系统枚举这些走法（如11222,12122等）是解题基础。
2. 条件概率与排除法：第(2)问引入施工点E不能通行。有效方法是：先计算总的最短路径数，再排除所有经过E点的路径。计算经过E的路径数，需分步（B→E和E→A）应用组合数乘法原理。最终概率 = (总路径数 - 经过E的路径数) / 总路径数。
3. 复杂目标事件的概率：第(3)问要求“从B到D的最短路径恰好经过C点”的概率。这需分阶段计算：先计算从B到C的最短路径数，再计算从C到D的最短路径数，两者相乘即为经过C的总路径数。概率 = (B→C路径数 × C→D路径数) / B→D总路径数。
核心思想：将几何路径问题转化为排列组合模型，并通过“分步、分类、排除”精确计数。
此题源自物理电路，考查复杂事件概率及方案决策，思维难度更高。
1. 串并联电路的逻辑翻译：
◦ 方案①（串联）：A到C的电路，元件R1与R2、R3、R4组成的子电路串联。正常工作条件苛刻：R1正常 且 (R2, R3, R4组成的并联部分正常)。需用树状图或列表枚举4个元件所有2⁴=16种状态组合，找出电路正常（非断路）的状态，计算概率。
◦ 方案②（混联）：结构更复杂，A到B有两条支路。一条是R1与R2串联，另一条是R3、R4、R5的混联。电路正常工作的条件是：至少有一条支路正常（即“或”逻辑）。直接计算较繁，可考虑计算其对立事件“两条支路同时断路”的概率，再用1减去。
2. 决策优化：稳定性的量化比较
第(3)问要求判断哪种方案“更稳定可靠”，并说明理由。这绝非主观猜测，而需基于概率计算的数据驱动决策：
◦ 分别精确计算出方案①和方案②的电路能正常工作的概率P1和P2。
◦ 比较P1与P2的大小。正常工作概率更高的方案，其稳定性、可靠性更强。
◦ 结论应表述为：“因为方案②的正常工作概率P2高于方案①的P1，所以方案②更稳定可靠。”
两道题共同揭示了解决概率综合题的通用心法：
1. 准确建模：将文字、图形描述转化为清晰的概率模型或计数模型（如网格路径、电路通断）。
2. 严谨计数：使用列举法（树状图/列表） 或 组合数公式，确保不重不漏。复杂事件善用“分类讨论”和“正难则反”（求对立事件）策略。
3. 数据驱动决策：比较方案时，必须计算出关键概率值，用数据支撑结论，体现数学的严谨性。
总结：概率题的中考压轴趋势，是紧密联系生活与跨学科情境，考查数学建模与逻辑推理的核心素养。掌握“转化模型、精细计算、依数据决策”的链条，方能稳操胜券。
在这两类题中，你觉得“网格路径的系统枚举”和“电路通断的逻辑分析”，哪一个更考验思维的条理性和严密性？欢迎在评论区分享你的解题策略与心得！
中考数学 #概率计算 #决策优化
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