美国留学

标积（点积）

几何定义：
两个矢量 A 和 B 的标积是一个标量，其定义为：
A⋅B=∣A∣∣B∣cosθ
其中 ∣A∣ 和 ∣B∣ 是矢量的模长，θ是它们之间的夹角。

核心：这个定义完全不依赖于坐标系的选择。无论你在哪个坐标系下观察这两个矢量，它们的模长和夹角是固有的几何属性，因此点积的结果是一个不随坐标系改变的真标量。

代数定义（坐标表示）：
在某个特定的直角坐标系中，如果我们知道了矢量的分量，比如在三维中

A=(Ax,Ay,Az),

B=(Bx,By,Bz)，

那么它们的点积为：
A⋅B=AxBx+AyBy+AzBz

核心：这是点积在直角坐标系下的计算公式。

它是一个非常有用的工具，但它不是点积的本质。

矢积（叉积）

几何定义：
两个矢量 A 和 B 的矢积是一个新矢量 C，其定义为：

方向：垂直于 A 和 B 所在的平面，遵循右手定则（从 A 到 B 弯曲四指，拇指方向为 C 的方向）。

模长：∣C∣=∣A∣∣B∣sinθ，其数值等于以 A 和 B 为邻边构成的平行四边形的面积。

核心：这个定义同样不依赖于坐标系（尽管右手定则隐含了我们对空间取向的约定）。

代数定义（坐标表示）：
在右手直角坐标系中，矢积可以通过行列式计算：

核心：这是矢积在特定坐标系下的计算公式。

一定要将“不变的本质”（几何定义）和“依赖于坐标的表达”（代数定义）区分开来，建立起“标积是坐标系无关的几何量”这一核心物理图像

矢量和矢量运算（点积、叉积）是几何对象;将坐标系和分量视为描述这些几何对象的工具和语言。代数公式之所以成立，是因为它们在正确的几何定义下，在特定的坐标系中推导出来的，它们服务于几何本质，而非取而代之。

从几何定义理解：点积的结果是一个数字（标量），而这个数字是由矢量本身固有的长度和夹角决定的。所以，无论你如何变换坐标系（平移、旋转、反射），这个数字的值保持不变。这就是标量的定义：在坐标变换下保持不变。

标积的不变性是物理定律在空间旋转下保持对称性的一个基本体现。很多物理定律（如能量守恒、动量守恒）的表达式中都包含点积，这确保了定律本身不依赖于我们观察方向的选择。

将标积理解为坐标系无关的几何量，是通向理解狭义相对论（其中时空间隔是一个四维时空中的“点积”，是洛伦兹变换下的不变量）和广义相对论（核心是弯曲时空的几何）等现代物理理论的阶梯。

版权声明：本文转载于今日头条，版权归作者所有，如果侵权，请联系本站编辑删除