更新时间：作者：小小条
德布罗意波为玻尔的原子模型提供了重要的波动性解释，但并未彻底解决电子在定态轨道上不辐射电磁波的问题。
德布罗意假设电子具有波动性，其波长为 λ = h/p。
在圆周轨道中，驻波条件要求 2πr = nλ，从而导出角动量量子化条件：pr = nħ。
这虽然解释了轨道量子化，但并未涉及辐射机制。在经典电动力学中，加速的电荷会辐射能量，而德布罗意波本身没有提供电荷分布和电流随时间变化的信息，因此无法说明为什么驻波形式的电子不辐射。
彻底解决这一问题需要完整的量子力学框架，特别是海森堡矩阵力学或薛定谔方程和波函数的概率诠释。
彻底解决的原理方案：以薛定谔方程与定态为例
1. 什么是“概率密度”？
在量子力学中，一个粒子（如电子）的状态不再由确定的位置和速度描述，而是由一个称为 波函数 的数学函数Ψ(r,t) 描述。
概率密度 定义为波函数模的平方：
它的物理意义是：在时刻 t，在空间位置 r 附近的一个小体积元 dV 内，发现该粒子的概率 为：
因此，概率密度在整个空间上的积分必须为1（归一化条件）：
表示粒子一定存在于空间中某处。
对于一个带有电荷 q（如电子，q=−e）的粒子，其 电荷密度 就是其概率密度乘以电荷：
2. 定态波函数：时间如何被“排除”？
定态 是薛定谔方程的一种特殊解。
所谓“定”，指的是能量确定、不随时间变化的状态。
薛定谔方程为：
对于势能不显含时间的系统（如原子中的电子，势能 V只是位置的函数），我们可以使用分离变量法求解。我们假设波函数可以写成一个空间部分和一个纯时间部分的乘积：
将这个形式代入薛定谔方程，并进行分离变量，我们得到两个独立的方程：
1)空间方程（定态薛定谔方程）
这是一个本征值方程，解 ψn(r) 称为定态波函数，对应的常数 En称为能级。
例如，氢原子的 ψ100,ψ210,...对应能级 E1,E2,...。
2)时间方程：
这个一阶微分方程的解非常简单：
这是一个相位因子，其模（绝对值）恒等于1：
因此，一个定态的总波函数形式为：
3)概率密度为什么不随时间变化？
现在，我们来计算定态的概率密度：
注意看，两个时间指数因子相乘：
它们完全抵消了！
所以，
结论：定态的概率密度 |Ψ|² 只依赖于空间位置 r，而与时间 t 完全无关。这就是“时间被排除”（电荷变化被消除）的含义——它在计算概率密度时，被相位因子的乘积消去了。
4）电荷分布如何静态？为何导致不辐射？
a) 电荷分布的静态形式
电荷密度为：
这是一个与时间无关的函数。电子云（电荷分布）的形状是固定的、不随时间摆动或流动。
例如氢原子基态 (1s)：
这是一个完美的球对称静态分布。电子就像一团“冻结”的、按此密度分布的负电荷云，环绕在原子核周围。
b) 为何静态电荷分布不辐射？
根据经典电动力学（麦克斯韦方程组），电磁辐射的产生需要两个关键条件：
存在加速运动的电荷。
存在随时间变化的电偶极矩（或多极矩）。
更具体地说，一个系统的电偶极矩定义为：
辐射的强度（尤其是主要的多极辐射——电偶极辐射）正比于偶极矩二阶导数的平方：
对于量子定态：
由于 |ψn(r)|²与时间无关，整个积分结果是一个常数向量（可能为零，如球对称态；可能为非零常矢量，如某些方向态）。但关键是，它不随时间变化。
因此，时变的偶极矩为零，没有偶极辐射。更高阶的多极矩（如磁偶极矩、电四极矩）在定态中同样也是静态的，不会辐射。
3.原理诠释
从原理上解决：薛定谔方程 + 波函数的概率诠释，为“定态不辐射”提供了根本性解释。它彻底颠覆了经典图像。
经典图像的悖论：在经典图像中，电子作圆周运动（加速运动）必须辐射。这是卢瑟福行星模型崩溃的原因。
量子图像的新范式：电子不是一个小行星，而是一朵“概率云”。
在定态，这朵云的形状是固定的（由 |ψn(r)|² 决定）。固定的电荷分布不会激发变化的电磁场，因此不辐射能量。电子只有在不同定态之间跃迁时，电荷分布才发生快速变化，这个瞬时的偶极矩变化会辐射出一个光子（能量为 Eγ=Ei−Ef）。
所以，德布罗意的“驻波”想法是一个天才的桥梁，但真正让电子在轨道上“安静下来”不辐射的，是量子力学核心的定态波函数及其静态概率密度这一全新概念。
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