更新时间：作者：小小条
第2讲 充分必要条件和命题
[玩前必备]
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 | |
p是q的充分不必要条件 | p⇒q且q⇏p |
p是q的必要不充分条件 | p⇏q且q⇒p |
p是q的充要条件 | p⇔q |
p是q的既不充分也不必要条件 | p⇏q且q⇏p |
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 | 语言表示 | 符号表示 | 命题的否定 |
全称命题 | 对M中任意一个x，有p(x)成立 | ∀x∈M，p(x) | ∃x∈M，非p(x) |
特称命题 | 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 | ∃x∈M，p(x) | ∀x∈M，非p(x) |
[玩转典例]
题型一 充分条件与必要条件的判断
题型二 根据充要条件求解参数的取值范围
【玩转跟踪】
1．设p：－2<x<4，q：(x＋2)(x＋a)<0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A．(4，＋∞) B．(－∞，－4)
C．(－∞，－4] D．[4，＋∞)
2．设p：|4x－3|≤1；q：x²－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A．[0，] B．(0，+∞)
C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．(－∞，0)∪(，＋∞)
题型三 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例4 (1)下列四个命题中真命题是( )
A．∀n∈R，n²≥n
B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m
C．∀n∈R，∃m∈R，m<n
D．∀n∈R，n²<n
(2)给出下列四个命题：
①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；
③∀x∈R，x²﹣2x＞0； ④∃x∈R，2x+1为奇数；
以上命题的否定为真命题的序号依次是 （ ）
A．①④ B．②④ C．①②③④ D．③
命题点2 含一个量词的命题的否定
[玩转跟踪]
1.写出下列命题的否定并判断真假：
(1)不论m取何实数，方程x²＋x＋m＝0必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相平分；
(4)被8整除的数能被4整除．
题型四 全称和特称命题中参数的取值范围
例6 已知命题“∀x∈R，x²－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．
[玩转跟踪]
[玩转练*]
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{1，a，b}，则“a＝2”是“A⊆B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若x<m－1或x>m＋1是x²－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
9．将“x²＋y²≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．任意x，y∈R，都有x²＋y²≥2xy B．存在x，y∈R，都有x²＋y²≥2xy
C．任意x＞0，y＞0，都有x²＋y²≥2xy D．存在x＜0，y＜0，都有x²＋y²≤2xy
10．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（ ）
A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
11．命题“对任意x∈R，都有x²≥0”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x²<0 B．不存在x∈R，使得x²<0
C．存在x∈R，使得x≥0 D．存在x∈R，使得x<0
12．写出下列命题的否定形式，并判断其真假
（1）∀x∈R，x²－x＋≥0； （2）对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3；
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