今天被推送了一道求角度的几何难题。

如图：在四边形ABCD中，∠ABD=60°, ∠CBD=20°, ∠BAC=50°, ∠CAD=30°, ∠ADB=40°. 求∠ACD的度数。

图1

初步分析：

这题是一道纯角度的题。这种题基本上没法用代数法来解，所以难度颇大。

从技术上讲，可以用三角函数来解，虽然也不一定简单，但显然，初中范围内，三角函数的内容太过于初步，无法用来解这类题目。

不用三角函数的话，基本上只能通过添加辅助线来解题了。但这道题的辅助线如何做呢？我们先把里面的边角关系给标出来。

图2

因为：∠ABD=60°, ∠CBD=20°, ∠BAC=50°，故：∠BCA=∠BAC=50°，即：AB=BC.

如此，等腰三角形出现了。一般而言，等腰三角形出现的情况，翻转图形是一种可以考虑的思路。

分析到此。

解法：

将∆BCD沿∠ABC的角平分线作对称。具体作法是：以点B为圆心，BD为半径画圆；然后以点A为圆心，以CD为半径画圆，两段圆弧交于点E。如下图。

图3

由此，我们将∆BCD翻转到了∆BAE的位置。显然：∆BCD≌∆BAE。

连接EC, ED。得到：

BE=BDAE=CD∠ABE=∠CBD=20°∠EBD=60°-20°=40°∠EAB=∠DCB

因为: BE=BD, ∠EBD=40°, 故：∠BED=∠BDE=(180°-40°) / 2 = 70°.

得到：∠EDA=∠DAC=30°. 即: ED//AC.

由此：四边形ACDE为等腰梯形。

将边角关系，标注如下图4。

图4

基于图4，连接AF, 并记AD与BE交于点G.

观察∆BAG与∆BCF，可得：

BA=BC∠ABG=∠CBF=20°∠BAG=∠BCF=80°

故：∆BAG ≌ ∆BCF

于是：BA = BC = BG = BF

图5

因为：∠BAF=60°, 故：∆BAF为正三角形。

得到：∠AFB=60°.

在∆BEF中，∠EBF=∠BEF=40°.

于是：EF=BF=AF.

即：∆FEA为等腰三角形。

因为：∠AFE=40°, 故：∠AEF=(180°-40°) / 2=70°.

于是：∠AEB=70°-40°=30°.

由此：在等腰梯形ACDE中，∠AED=70°+30°=100°.

故：∠ACD=180°-100°=80°.

小结：

这题应该是有其他的解法的。不过，这种纯角度的题目，真的是挺难的。完全要靠自己去找边角关系。关键关键很多的边角关系是不太直观的，像50°和40°，70°和80°的差异是很小的，靠直觉得到思路，是不很难的。所以，得把里面的边角关系，给理得清楚，才得找出思路。

这题我的解法大概率不是最优，我自己边想边做，都感觉挺费劲的，因为里面的关系挺绕的，线索太多了，要直中要害，快速解题，是很有挑战的。

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