更新时间：作者：小小条
题目是武汉2月份高三数学调研第12题，解题需要一定的空间想象能力，题目很不错，今天将本题的完整思路和细致解析过程分享如下：
题目解析：解题之前可先求出空间几何中的量，对于△ABC，用正弦定理求出外接圆的半径，根据锥体外接球的半径可求出球心O到平面ABC的距离为1。
A选项的正确性很容易证明，若CD⊥AB,因为CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，即底面BCD和侧面ABC垂直，所以过BD的中点F作BC的垂线，垂足为H，此时FH即为球心O到平面ABC的距离，根据中位线可求出CD长为2,如下：
B选项是A选项的逆命题，很具有迷惑性，若直接根据A选项的过程反推确实能根据CD=2证明出CD⊥AB，但有没有满足CD=2时的点D并不满足CD⊥AB？题目中可将三角形ABC看作是球内截面内的固定三角形，因此只有点D是不确定的动点，又因为始终满足CB⊥CD，所以点D的轨迹是与BC垂直的球内某截面圆上的动点，当动点D恰好满足A选项中平面BCD⊥平面ABC时，可得CD⊥AB，但如果不满足平面垂直时，线线垂直也不满足，此时符合CD=2的点D有几个？作出大致的图示如下：
如上图，因为BC=2为定值，因此球心O到D点所在截面圆圆心O'的距离一定可以求出来，因为OO'和BC同时满足垂直于D点所在截面圆，取BC的中点M，所以OM即为D点所在截面圆的半径，容易求得OM=2,所以D点在以2为半径的圆上，C为定点，所以满足CD=2时的点D有两个点，作A点在截面圆的投影，垂足设为H，所以当H',O',D共线时满足CD⊥AB，所以必定有另外一个符合CD=2的D点不满足，因此B选项错误。
C选项参考上图，因为平面ABC(ABCH)与圆O'垂直，所以OO'与平面ABC平行，作OO'⊥AH，又因为OO'⊥BC，所以OO’⊥平面ABC，因此O'为ABC外接圆的圆心，根据正弦定理可求出△ABC外接圆半径为2，又因为O'H=MC=1，所以AH=3，若求AD的最小值，在直角三角形ADH中，只需确定出DH的最小值即可，如上图所示，点D在D'位置时，DH最小，AD也最小。
根据以上，D选项就很容易判定了，△ABC的面积为定值，且D点在于△ABC垂直的截面圆上，只需当D点到平面ABC距离最大时体积也最大，又因为O'H⊥平面ABC，因此当D点位于HO'与截面圆的交点时高最大，最大值为3
综上，本题难度较大，但依旧没有脱离立体几何中动点问题的处理思路，只是在具体求解时的过程复杂度稍大，本题出在第12题的位置并不理想，如果将题目完整的解出来需要时间很长，本题建议看看方法即可。
版权声明：本文转载于今日头条，版权归作者所有，如果侵权，请联系本站编辑删除