更新时间：作者：小小条
康托尔集（Cantor set）
通常指三分康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入。
构造过程如下：
从闭区间 [0, 1] 开始，
去掉中间的三分之一，即去掉开区间 (1/3, 2/3) ，剩下两个闭区间 [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]
对剩下的每个闭区间，再次去掉中间的三分之一开区间，即 [0, 1/3] 去掉 (1/9, 2/9) ， [2/3, 1] 去掉 (7/9, 8/9) ，剩下四个闭区间
重复此过程无穷多次，最终剩下的点构成的集合就是康托尔集，记作 C 。
其主要性质
测度为0：
第一步去掉长度为 1/3 的区间；第二步去掉的两段总长度为 2 × 1/9 = 2/9 ；第 n 步去掉的长度为 2ⁿ⁻¹ × 1/3ⁿ ，去掉的总长度：
因此，原区间长度 1 被全部去掉，康托尔集自身的勒贝格测度为 0
不可数：
康托尔集与整个区间 [0,1] 可以建立一一对应（通过三进制表示）。
在康托尔集中的点，其三进制展开中只包含数字 0 和 2，不包含 1，因为包含数字 1 就意味着该点位于某个被去掉的三分之一开区间内。
这样的三进制序列全体与二进制序列全体，即 [0,1] 的二进制表示，有相同的势，因此它与 [0,1] 等势，是不可数无穷。
无处稠密（疏朗）：
在实数轴上，康托尔集没有内点，并且它的闭包就是它自身（是闭集）。
任何开区间只要与 C 相交，必然含有被去掉的部分的开区间，因此不包含于 C 中，所以它是无处稠密闭集。
自相似性：
C在区间 [0, 1/3] 上的部分与整体相似，缩放比为1/3 ，同理在 [2/3, 1] 上也是。
因此康托尔集是严格自相似分形。
拓扑性质：
它是紧致的、完全不连通的、完备的（闭且没有孤立点）。
完全不相连指的是它的任意两个不同点可以被两个不相交的闭集分开，并且每个连通分支是单点。
谢尔宾斯基三角（Sierpinski triangle）
又称谢尔宾斯基垫片，由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基于1915年提出。
常见构造方法：
从一个实心等边三角形开始→
连接三边中点，将三角形分成四个全等的小等边三角形，去掉中间的那个小三角形，只去掉内部，边界可保留作为图形的一部分。
对剩下的三个小实心三角形，分别重复上述操作：每个再分成四份，去掉中间一个。
无限重复此过程，最终剩下的点集就是谢尔宾斯基三角。
其主要性质
面积为零：
每一步剩下部分的面积是上一步的 3/4 。初始面积 A₀ ，第 n 步后面积为
A₀ × (3/4)ⁿ → 0
所以极限图形的面积为 0
自相似性：
由三个部分组成，每个部分与整体相似，缩放比为 1/2 。
相似维数（豪斯多夫维数）计算如下：
N = 3, r = 1/2 ⇒
dim_H = log3 / log2 ≈ 1.585
因此它是一个分形，维数介于 1 与 2 之间。
拓扑性质：
它是紧致的、连通的、局部连通的。
它是一个无处稠密的完全集，在二维意义下，它的内部为空。
其他生成方式：
随机迭代法（混沌游戏）：任取三角形内一点，随机选择三角形的三个顶点之一，将当前点移动到与所选顶点连线中点，不断迭代，点集的极限分布就是谢尔宾斯基三角，排除前面若干点。
数论方法：在帕斯卡三角形中，将二项式系数奇偶性用不同颜色表示，奇数涂黑，会呈现谢尔宾斯基三角的形状。
L-系统：用简单的字符串替换规则也可以生成。
数学意义
两者都是早期被发现的分形，具有自相似性、非整数维数，展示了“复杂结构可由简单规则迭代生成”。
康托尔集在实分析中常用来构造反例，如“胖康托尔集”测度大于0但仍然无处稠密；谢尔宾斯基三角用于说明面积为零但拓扑维数为1的连通图形。
它们都可以由迭代函数系（IFS）严格生成，是分形压缩与 Hutchinson算子的典型例子。
最神奇、最反直觉的本质——
它们存在，却占据“几乎为零”的空间！
这就是它们超越经典欧氏几何、开启分形几何大门的关键，也是数学“反直觉之美”的典范。
它们的“存在”是数学上非常坚实的存在：
康托尔集是一个不可数无穷的点集。
它包含的点，和整个实数区间 [0,1] 一样多！
这可以通过三进制编码与二进制编码建立一一对应来证明。
它不是一个“空壳”，而是一个“体量庞大”的集合。
谢尔宾斯基三角也是一个不可数点集，其豪斯多夫维数约为 1.585，意味着它的“规模”介于一条线和一个面之间。
图形结构极其丰富，包含了无数个不同尺度的三角形结构。
因此，它们不是“空无”，而是结构极其复杂、点极其多的集合。
它们“测度为零”，指的是勒贝格测度，它是长度、面积、体积概念在数学上的严格推广。
对于康托尔集：在构造过程中，我们不断去掉开区间。所有去掉的区间长度总和为：
1/3 + 2/9 + 4/27 + … = 1
也就是说，我们从长度为 1 的线段中，去掉的总长度正好等于 1。剩下的部分自然就没有“长度”了，即一维勒贝格测度为 0
对于谢尔宾斯基三角：每次迭代保留的面积是原来的 3/4 。经过 n 次后，剩余面积为初始面积乘以 (3/4)ⁿ ，当 n → ∞ 时，面积趋于 0，即二维勒贝格测度为 0
神奇与反直觉的碰撞
直觉上，一个“存在”的东西应该占据一定的空间大小。
但这两种直觉在这里发生了根本性的冲突：
“多少”与“大小”的分离在无穷的世界里，点的“数量”（基数）和点的“空间占据”（测度）是两个独立的概念。
康托尔集有不可数无穷个点，但长度为零。
一段线段也有不可数无穷个点，但长度大于零。
这说明“点的多少”不决定“测度大小”。
维度错位
康托尔集的豪斯多夫维数约为 0.631，小于 1。
它比一条线“稀疏”，但又比可数无穷个点“致密”，所以能同时拥有“不可数”和“零长度”这两个看似矛盾的性质。
谢尔宾斯基三角的维数约为 1.585，介于 1 和 2 之间，所以它能是“连续的结构”（连通），却只有零面积。
结构的“完整”与“空无”
它们结构极其复杂，在任何尺度下都有细节（自相似），你无法用有限的线段或区域去覆盖它们的所有细节。
然而，它们却不占据任何“体量”。就好像一个无限复杂的雕刻，其材质的总量却为零。
这种数学对象在现实中有深刻的隐喻意义：
宇宙的星系分布：在大尺度上，星系形成类似“分形海绵”的结构，质量集中在极少数区域，大部分空间几乎是空的。康托尔集就是一个极端抽象的模型。
海绵与过滤：谢尔宾斯基三角就像一个无限镂空的筛子，有结构、有连接，但几乎全是洞。这类似于多孔材料、肺部的支气管树等结构。
信息与载体：它们展示了“信息”（复杂结构）可以与“物质”（测度）分离。一个零测度集合可以携带无限复杂的信息。
它们之所以神奇，是因为挑战了我们对“存在”和“大小”的日常认知：
在数学中，我们可以明确构造出一样“东西”，它既不是“空无”（有不可数个点），也不是“有体积”（测度为零）。
这揭示了人类直觉在无穷和维度面前的局限性，也展示了数学工具如何超越直觉，精确描述那些“几乎不存在却又无处不在”的结构。
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