更新时间：作者：小小条
在解答几何压轴题的时候，你是否也曾有过一听就会，一做就废，再做还是废的经历。甚至还会因此而质疑是否具备学好数学的天赋。
实际上，出现上述状况的主要缘由在于：聆听讲解时，我们的思维会在引导之下，不自觉地迈向正确方向，避开了许多陷阱；而当自主练*时，思维则会受到诸多干扰。这就如同身处迷宫之中，聆听讲解恰似有一位向导在前方引领，故而会觉得解题轻而易举；而自主解题时，则需自行进行判断与推理，甚至可能误入歧途。
本合集尝试全方位展示解题的逻辑脉络，具体涵盖从辅助线的切入点选择，到从众多备选辅助线中精准甄选，再到察觉辅助线选择有误时及时调整等多个关键环节。为最大程度降低参考答案对思维的导向性影响，文中所呈现的解题方法或许会与参考答案存在一定差异。差异部分请自行思考一下做该辅助线的目的。
本期题目如下图所示：
在整个解题进程中，我们首先应当罗列出所有条件，其中涵盖一些隐含条件（例如，坐标系所带来的坐标与线段长度的转换，坐标所蕴含的垂直坐标轴的条件等）。随后，运用这些条件，结合某些几何模型或二级结论，绘制一些常用的辅助线，以补全图形。
当然，在绘制辅助线的过程中，必然会面临辅助线如何选择，甚至选错辅助线的状况。因此，正确选取辅助线以及及时察觉选错辅助线就显得尤为关键。
就我目前的刷题的感觉而言，一条优质的辅助线，要么能够衍生出更多的条件，要么能够与其他条件建立关联。倘若二者皆能达成，那么基本上可以判定辅助线的选择无误。
然而，我在做题时也曾遭遇这样的情形：所选择的辅助线能够与其他条件相结合，但最终却无法完成证明。此时，证明过程通常会陷入一个死循环，即两个假设需要相互验证，必须要先假设一个假设成立，才能二者都成立。这种情况基本可以断定辅助线选择有误。
依据上述思路，让我们尝试解答上面的*题。
第一问要求证明线段相等。观察题目所给条件，仅给出了两个点的坐标。在坐标系与几何的代数几何综合问题中，实现坐标与线段长度的转换是常见考点。通过求解不等式和二元一次方程，可得出(a = b = 4)。在此基础上，结合坐标与长度的转换关系，即可推导出相应结论。
第二问整理条件有F为CE中点，FG=FA，AE=AB,AD⟂AB，x轴⟂Y轴（隐含条件），OC=OB（由第一问证明所得）。
由F为CE中点，FG=FA易知三角形GCF与三角形EFA构成倍长中线模型，由此可以得出新的条件△GCF≌△AEF，进而得到GC=AE=AB，GC//AE的条件。
继续观察条件由AD⟂AB，x轴⟂Y轴可知在四边形ODAB中，结合四边形的内角和。会有∠CDA=∠B，又因为GC//AE就有∠CDA=∠B=∠GCO。
继续观察结论，要证明一个角为定角，一般情况下这个定角都会是一个特殊角如（45°，60°，30°，90°等）。且现在有GC=AB,OC=OB,∠B=∠GCO.目前只要连接GO即可证明△GCO≌△AOB，从而可得GO=AO,∠GOC=∠AOB，结合∠COB=90°，可知∠GOA=90°.因此三角形GOA为等腰直角三角形。所以就有∠OAG=45°为定角
第三问整理条件有如下（包括隐含条件有）：A为BC中点，OC=OB，∠COB=90°，AN⟂AM，BM-BN=2,∠OBM=2∠CAM。通过观察条件中出现了中点，二倍角等明显条件。而通过以上条件一眼可以看到的辅助线做法有：
⑴ 中点的一般辅助线的做法有：
① 倍长中线
② 出现在等腰三角形底边上时，我们一般会去连接中线构成三线合一。
③出现在直角三角形中斜边上时，连接中线，有中线等于斜边的一半。（八年级下册内容，这里暂时不考虑）
④ 出现2个中点，一般考虑连接中位线（八年级下册内容，这里暂时不考虑）。
（2）二倍角的一般辅助线的做法有：
①扩大较小角，将较小角扩大到二倍，使之与较大角相等
②缩小较大角，将较大角缩小到一半，使之与较小角相等。
③构造等腰三角形，使等腰三角形的外角等于较大角。
④利用互余互补等性质进行运算
⑶ 线段和差的处理方式
出现线段和差一般是进行线段转换将不在同一条直线上的线段转换到同一条直线上。
结合条件，三角形BOC为等腰直角三角形且A为底边上的中点，最容易想到的是构造三线合一，所以就可以做出第一条辅助线OA。
连接OA后可以得出∠C=∠AON=45°,OC=AC=AB，OA⟂BC。同时因为AN⟂AM，∠COB=90°，通过四边形MANO中内角和可知∠ONA与∠OMA互补，同时∠CMA与∠OMA互补，从而得出∠CMA=∠ONA从而得出△CMA≌△ONA。从而得到新的条件，∠CAM=∠OAN，AM=AN，CM=ON。结合AN⟂AM，发现三角形MAN为等腰直角三角形。因为这条辅助线给我们带来了许多新的条件，并且可以将问题转换为求CM=ON的长度。因此判断该辅助线为有效辅助线。
结合剩余的2个条件以及观察图形可知，可以将BM转换到x轴上，并且可以大胆的猜测ON的长度应该为1.
因此可以做出第二条辅助线，延长BN至H使得BH=BM。结合BM-BN=2的条件，可以得出HN=2。根据图形我们容易猜出MO应该为HN的垂直平分线。因此做出第三条辅助线，连接MN。因此我们的目标也变为求证MO应该为HN的垂直平分线即可。也就是要求证∠HMO=∠NMO即可。通过利用等腰三角形MBH导角已知∠HMO=1/2∠OBM，剩下的只要证明∠NMO=∠CAM即可。这2个角的证明可以通过8字模型△MAI与△NIO证的，也可以外角定理∠OMA=∠C+∠CAM=∠NMO+∠NMA，其中∠C=∠NMA=45°求得。至此该题已经求出。
完整的参考答案于下图
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