美国留学

激光自一九六〇年问世以来,已成为现代科学技术中应用最广泛的工具之一。从精密测量到光纤通信,从材料加工到医学诊疗,激光的身影无处不在。然而,若要真正理解激光为何具有高度单色性、优异相干性、良好方向性和极高亮度这些独特品质,仅凭经典电磁理论是不够的。经典理论将光视为连续变化的电磁波,无法解释光与物质相互作用的微观机制,也无法阐明激光区别于普通光源的根本原因。

量子光学为理解激光提供了正确的理论框架。这门学科将量子力学的原理应用于电磁场,建立了光场量子化的数学描述,揭示了光子作为场激发的本质,并发展出相干态理论来刻画激光的量子特性。量子光学还阐明了原子辐射的三种基本过程——自发辐射、受激吸收和受激辐射——的微观机理,特别是揭示了自发辐射与真空场涨落之间的深刻联系。

本讲义旨在为物理学专业的高年级本科生和研究生提供一份系统的量子光学入门材料,重点聚焦于激光原理的量子诠释。我们将从光场量子化的基本概念出发,逐步建立描述激光所需的理论工具,包括产生湮灭算符、数态、相干态、光子统计和相干函数等。在此基础上,我们将详细讨论原子与量子化光场的相互作用,推导爱因斯坦系数的量子表达式,阐明受激辐射的相位继承性和自发辐射的真空涨落起源。最后,我们将介绍验证这些理论的关键实验,使读者建立起激光物理的完整量子图像。

为什么需要量子光学:经典理论的成功与局限

在进入量子光学的正式讨论之前,有必要回顾经典电磁理论在描述光现象方面的成就与不足。这种回顾不仅有助于理解量子化的必要性,也能帮助我们认识到量子理论与经典理论之间的联系。

麦克斯韦于十九世纪六十年代建立的电磁理论是物理学史上最伟大的综合之一。麦克斯韦方程组统一了电学、磁学和光学,预言了电磁波的存在,并给出了光速的理论值。此后的实验——赫兹的电磁波产生与检测、干涉和衍射现象的精密测量——都有力地支持了光的波动本质。经典电磁理论成功解释了反射、折射、偏振、干涉、衍射等一系列光学现象,至今仍是光学工程的理论基础。

然而,十九世纪末到二十世纪初的一系列实验揭示了经典理论的根本局限。黑体辐射问题是第一个严重的危机。根据经典统计力学,空腔辐射的能量密度在高频端应趋于无穷大,这就是所谓的"紫外灾难"。一九〇〇年,普朗克通过引入能量量子化假设解决了这一困难:他假定频率为ν的振子只能以hν为单位吸收或发射能量,其中h是一个新的基本常数。普朗克的假设虽然成功导出了与实验完全吻合的黑体辐射公式,但其物理意义在当时并不清晰。

一九〇五年,爱因斯坦走得更远。他提出光本身就是由能量为hν的量子组成的,这就是光量子假说。爱因斯坦用这一假说解释了光电效应:当光照射金属表面时,只有光子能量hν超过金属逸出功的光才能打出电子,而与光强无关。这一预言与经典理论的预期完全不同——经典理论认为足够强的光终究能打出电子,只是需要更长的照射时间。密立根的精密实验证实了爱因斯坦的预言,光电效应方程成为光量子存在的有力证据。

康普顿散射提供了光子具有动量的直接证据。一九二三年,康普顿发现X射线被电子散射后波长变长,变化量与散射角有确定的关系。这一现象无法用经典的汤姆孙散射理论解释,但如果将X射线视为具有能量hν和动量hν/c的粒子,与电子发生弹性碰撞,则可以完美地解释实验结果。康普顿效应表明,光子不仅具有能量,还具有动量,是真实的粒子。

这些实验确立了光的粒子性,但并没有否定光的波动性。双缝干涉实验即使在极弱的光强下(平均每次只有一个光子通过装置)仍然产生干涉条纹,只是条纹是由大量光子逐个积累而成的。这表明每个光子都"知道"两条缝的存在,表现出波动行为。光的这种波粒二象性是量子力学的普遍特征,需要新的理论框架来统一描述。

经典理论在描述激光时面临特殊的困难。激光的高度相干性意味着光场具有确定的相位,能够产生稳定的干涉条纹。但在量子理论中,光场的相位与光子数是一对共轭变量,满足不确定关系,不能同时具有确定值。那么,激光是如何在量子约束下实现高度相干的?这个问题只有在量子光学的框架内才能得到回答。

更根本的问题是自发辐射的起源。爱因斯坦在一九一七年的分析中,自发辐射是作为独立于外界辐射场的过程引入的。但是,为什么激发态原子会"自发"地跃迁到基态?什么触发了这一过程?经典理论和早期量子理论都无法回答这些问题。只有当电磁场本身被量子化,引入真空涨落的概念后,自发辐射的起源才得到令人满意的解释。

光场量子化:从连续波到光子

光场量子化是量子光学的基础。其基本思想是将电磁场分解为一系列独立的振动模式,然后将每个模式类比为量子谐振子进行处理。这一程序最早由狄拉克于一九二七年系统发展,此后经过许多物理学家的完善,成为量子场论的标准方法。

考虑一个边长为L的立方体空腔,腔壁是理想导体。根据麦克斯韦方程组和边界条件,腔内的电磁场可以展开为一系列驻波模式的叠加。每个模式由波矢k标记,波矢的分量取分立值:k_x = n_x π/L,k_y = n_y π/L,k_z = n_z π/L,其中n_x、n_y、n_z是正整数。每个波矢对应两个独立的偏振方向,记作λ = 1, 2。模式的圆频率由色散关系确定:ω_k = c|k|。

在经典电磁理论中,每个模式的能量可以是任意非负实数。场的总能量是所有模式能量的叠加。电场和磁场在空间各点连续变化,可以取任意值。这种连续性正是经典场论的特征。

量子化的关键步骤是将每个场模式视为独立的量子谐振子。对于单个谐振子,经典力学中的广义坐标q和广义动量p满足正则对易关系;在量子化时,它们被提升为满足对易关系[q̂, p̂] = iħ的算符。对于电磁场模式,更方便的做法是引入无量纲的产生算符a†和湮灭算符a,它们满足玻色对易关系:

[a, a†] = 1

这个对易关系是光场量子化的数学基础。湮灭算符a的作用是将光子数减少一个,产生算符a†则增加一个光子。它们的命名直观地反映了其物理功能。

利用产生和湮灭算符,单模光场的哈密顿量可以写成简洁的形式:

H = ħω(a†a + 1/2)

这个表达式与谐振子哈密顿量完全类似。算符n̂ = a†a称为光子数算符,其本征值为非负整数n = 0, 1, 2, ...。能量本征值为E_n = ħω(n + 1/2),呈现等间距的能级结构,相邻能级间距为ħω,恰好等于单个光子的能量。这一结果与爱因斯坦的光量子假说完美吻合。

哈密顿量中的1/2项代表真空零点能。即使在没有任何光子的真空态中,每个场模式仍具有能量ħω/2。这是量子力学不确定性原理的直接后果:场的两个正交分量不能同时为零,必然存在不可消除的涨落。真空零点能的总和在数学上发散(对所有模式求和),这一困难在量子场论中通过重整化程序处理。尽管绝对的零点能不可直接测量,但零点能的变化却是可观测的,卡西米尔效应就是著名的例子。

光子数算符的本征态称为福克态或数态,记作|n⟩。数态|n⟩表示该模式恰好包含n个光子的量子态,满足n̂|n⟩ = n|n⟩。真空态|0⟩是没有光子的状态,满足a|0⟩ = 0——对真空态作用湮灭算符得到零,因为没有光子可以被湮灭。从真空态出发,通过反复作用产生算符,可以构造任意光子数的数态:|n⟩ = (a†)^n/√(n!) |0⟩。数态构成场态希尔伯特空间的完备正交基,任何量子态都可以展开为数态的线性组合。

产生和湮灭算符作用于数态的效果是:a|n⟩ = √n |n-1⟩,a†|n⟩ = √(n+1) |n+1⟩。因子√n和√(n+1)的出现是为了保证态的归一化。这些关系在计算跃迁矩阵元时至关重要。

电场算符可以用产生和湮灭算符表示。对于单模场,原子位置处的电场算符(在偶极近似下)正比于(a + a†)。更精确地,E^ = ε_0(a + a†),其中ε_0 = √(ħω/(2ε_0V))是单光子电场振幅,V是量化体积。ε_0的数量级由量子涨落决定:它是使单光子能量ħω等于电场能量(1/2)ε_0E^2V时的电场值。对于可见光和宏观体积,ε_0极其微小,约为每米几伏特,这解释了为什么单光子效应在日常生活中不明显。

数态的一个重要性质是电场期望值为零:⟨n|E^|n⟩ = 0。这是因为⟨n|a|n⟩ = ⟨n|a†|n⟩ = 0。数态不呈现任何电场振荡,与我们对光波的直觉相悖。这并不意味着数态中没有电场,而是说电场在正负方向的涨落完全对称,平均值为零。数态的电场涨落为⟨n|E^2|n⟩ = ε_0^2(2n + 1),随光子数增加。

数态的另一个特点是相位完全不确定。虽然光子数算符有良好定义的本征值,但相位算符在量子力学中的定义存在微妙之处。大致上,光子数和相位满足不确定关系,类似于位置和动量的关系。数态具有确定的光子数,代价是相位完全随机。这使得数态不适合描述具有确定相位的经典光波,也不适合描述激光。

相干态:激光场的量子描述

既然数态不能描述具有确定相位的光场,什么样的量子态才能恰当地描述激光?答案是相干态。相干态的概念由薛定谔在一九二六年研究谐振子波包时首次提出,但其在光学中的重要性直到六十年代才被格劳伯充分认识。格劳伯因发展量子相干性理论获得了二〇〇五年的诺贝尔物理学奖。

相干态定义为湮灭算符的本征态,即满足a|α⟩ = α|α⟩的量子态,其中α是任意复数。这个定义看似简单,却蕴含着丰富的物理内容。首先需要注意,湮灭算符不是厄米算符,因此其本征值可以是复数。其次,任意复数α都对应一个相干态,这意味着相干态构成一个连续的态族,用复平面上的点来标记。复数α的模|α|与场的振幅相关,辐角arg(α)对应场的相位。

将相干态展开到数态基矢上,可以得到:

|α⟩ = exp(-|α|^2/2) * Σ_n (α^n/√(n!)) |n⟩

这个展开式是理解相干态性质的关键。它告诉我们,相干态是所有数态的相干叠加,叠加系数由复数α的幂次决定。相干态不是光子数的本征态——测量相干态的光子数会得到随机的结果。

从展开式可以计算相干态中光子数的概率分布。测量到n个光子的概率为:

P(n) = |⟨n|α⟩|^2 = exp(-|α|^2) * |α|^(2n) / n!

这正是参数为|α|^2的泊松分布。泊松分布是描述随机独立事件的典型分布——例如,单位时间内放射性原子的衰变数、电话交换台收到的呼叫数等。它在相干态中的出现意味着光子的到达是随机独立的:每个光子何时到达探测器与其他光子无关,没有任何关联。

泊松分布的均值和方差相等,都等于参数|α|^2。因此,相干态的平均光子数为⟨n⟩ = |α|^2,光子数方差为Δn^2 = |α|^2,相对涨落为Δn/⟨n⟩ = 1/√⟨n⟩。对于强光场,平均光子数很大,相对涨落趋于零,光子数近似确定;对于弱光场,涨落变得显著。这种行为符合经典极限的预期:宏观光场的强度涨落相对很小。

相干态的电场期望值不为零。计算表明,⟨α|E^(t)|α⟩ = 2ε_0|α|cos(ωt - φ_α),其中φ_α = arg(α)是相干态的相位。这正是经典电磁波的振荡形式。相干态因此被称为"最经典"的量子态——它能够最好地模拟经典光场的行为。

相干态是最小不确定态。对于谐振子,可以定义两个正交的求积分量:X_1 = (a + a†)/2和X_2 = (a - a†)/(2i),它们类似于位置和动量,满足对易关系[X_1, X_2] = i/2。海森堡不确定关系要求ΔX_1 * ΔX_2 ≥ 1/4。相干态使这个不等式取等号,且两个分量的涨落相等:ΔX_1 = ΔX_2 = 1/2。在相空间(以X_1和X_2为坐标轴)中,相干态呈现为一个圆形的不确定度区域,圆心位于(Re(α), Im(α)),半径由真空涨落确定。这个"误差圆"随时间沿圆形轨道运动,恰如经典谐振子的相空间轨迹。

相干态之间不是正交的。对于两个相干态|α⟩和|β⟩,其内积为⟨β|α⟩ = exp(-|α|^2/2 - |β|^2/2 + β*α),模方为|⟨β|α⟩|^2 = exp(-|α - β|^2)。当|α - β|很大时,两个相干态近似正交;当α和β接近时,两个相干态有显著重叠。相干态构成过完备集——它们的数目超过构成正交基所需的数目。

相干态可以通过位移算符从真空态产生:|α⟩ = D(α)|0⟩,其中D(α) = exp(αa† - α*a)是位移算符。位移算符的作用是将相空间中的态整体平移,将原点处的真空态移动到α点。这一表述在理论分析和实验实现中都很有用。

理想运转的激光器输出的光场近似处于相干态。这一结论的物理根源在于受激辐射的机制。在激光器中,受激辐射不断产生与腔内已有光子相位相同的新光子,使光场维持确定的相位。增益与损耗的平衡使振幅稳定在某一值。自发辐射引入的相位扰动相对较小(因为腔内光子数很大),使激光场近似为相干态。当然,自发辐射的存在意味着激光相位会缓慢漂移,导致有限的线宽,但在短时间尺度上,相干态描述是很好的近似。

原子与量子化光场的相互作用

理解激光原理的关键是弄清原子如何与量子化光场相互作用。这涉及原子吸收光子、发射光子的微观过程,是爱因斯坦系数量子推导的基础。

考虑一个二能级原子,只有基态|1⟩(能量E_1)和激发态|2⟩(能量E_2)两个能级。这是一个理想化的模型,但抓住了原子辐射的本质特征。真实原子有复杂的能级结构,但在近共振条件下(光频接近某一跃迁频率),可以忽略其他能级的影响,二能级近似是合理的。

原子与电磁场的相互作用在偶极近似下可以写成H_相互作用 = -d^ · E^,其中d^是原子的电偶极矩算符,E^是原子位置处的电场算符。偶极近似假设光波长远大于原子尺寸(可见光波长约数百纳米,原子尺寸约0.1纳米),因此原子"感受"到的电场在原子范围内近似均匀。这一近似对于光学跃迁是极好的。

在二能级原子模型中,偶极矩算符可以用原子的跃迁算符表示:d^ = d_12(|1⟩⟨2| + |2⟩⟨1|)。这里d_12 = ⟨1|d^|2⟩是跃迁偶极矩,是一个复矢量,其大小决定了跃迁的强度。|1⟩⟨2|是从激发态到基态的跃迁算符(原子降算符),|2⟩⟨1|是相反方向的跃迁算符(原子升算符)。

将电场算符E^ = ε_0(a + a†)代入,得到相互作用哈密顿量:

H_相互作用 = -ħg(|1⟩⟨2| + |2⟩⟨1|)(a + a†)

这里g = d_12 · ε̂ * ε_0/ħ是耦合常数,ε̂是电场的偏振方向。耦合常数g表征了原子与单光子电场相互作用的强度,其量纲是频率。对于典型的原子跃迁和宏观腔体积,g在兆赫兹量级;在微腔中,g可以达到吉赫兹量级。

相互作用哈密顿量展开后包含四项。(|2⟩⟨1|)a†项描述原子吸收光子从基态跃迁到激发态,这是能量守恒的过程;(|1⟩⟨2|)a项描述原子发射光子从激发态跃迁到基态,也是能量守恒的;(|2⟩⟨1|)a项描述原子跃迁到激发态同时发射光子,不满足能量守恒;(|1⟩⟨2|)a†项描述原子跃迁到基态同时吸收光子,也不满足能量守恒。

在旋转波近似下,后两项因能量不守恒而快速振荡,时间平均效果为零,可以忽略。保留能量守恒的两项,得到雅尼斯-卡明斯哈密顿量,这是腔量子电动力学的基本模型。旋转波近似在光学频率和弱耦合条件下是很好的近似,但在强耦合或低频情况下可能失效。

利用含时微扰理论,可以计算原子在光场作用下的跃迁概率。设初态为|1, n⟩(原子在基态,光场有n个光子),求末态为|2, n-1⟩(原子在激发态,光场有n-1个光子)的跃迁概率。根据费米黄金规则,单位时间内的跃迁速率正比于矩阵元模方和末态密度。

关键的矩阵元为⟨2, n-1|H_相互作用|1, n⟩ = -ħg√n。因子√n来自湮灭算符作用于数态的结果:a|n⟩ = √n|n-1⟩。这意味着吸收速率正比于n,即光子数。光子数越多,吸收越快。这与爱因斯坦的唯象描述一致:受激吸收速率正比于辐射场强度。

类似地,计算受激辐射的矩阵元。初态为|2, n⟩(原子在激发态,光场有n个光子),末态为|1, n+1⟩(原子在基态,光场有n+1个光子)。矩阵元为⟨1, n+1|H_相互作用|2, n⟩ = -ħg√(n+1)。因子√(n+1)来自产生算符作用于数态:a†|n⟩ = √(n+1)|n+1⟩。

受激辐射速率正比于(n+1),这个结果具有深刻的物理意义。因子n对应于受激辐射——被场中已有光子诱导的跃迁;因子1对应于自发辐射——即使没有光子(n = 0)也会发生的跃迁。受激辐射与自发辐射在量子理论中自然地统一起来:它们是同一个矩阵元的两个部分,区别仅在于场中是否有光子。

这一结果还揭示了一个重要的玻色增强效应。受激辐射速率正比于(n+1),而不是与n无关。已有光子的存在增强了辐射概率。这是玻色子统计的特征:玻色子倾向于占据已有粒子所在的量子态。光子是玻色子,新产生的光子倾向于进入已有光子的模式。这种增强效应是激光放大的微观基础。

爱因斯坦系数的量子推导

现在我们可以从量子理论推导爱因斯坦系数的具体表达式。这一推导建立了宏观可测量的辐射系数与微观原子参数(跃迁偶极矩)之间的联系。

爱因斯坦在一九一七年引入了三个系数来描述原子与辐射场的相互作用。受激吸收系数B_12表征原子从基态吸收光子跃迁到激发态的能力;受激辐射系数B_21表征原子在光场诱导下从激发态跃迁到基态并发射光子的能力;自发辐射系数A_21表征原子自发地从激发态跃迁到基态的速率。爱因斯坦通过热平衡分析得出B_12 = B_21,以及A_21/B_21 = 8πhν^3/c^3。

量子理论可以给出这些系数的显式表达式。利用费米黄金规则,受激吸收的跃迁速率为W_吸收 = (2π/ħ)|⟨2, n-1|H'|1, n⟩|^2 * δ(E_f - E_i),其中δ函数确保能量守恒。将矩阵元代入,并与爱因斯坦唯象公式W_吸收 = B_12 * ρ(ν)比较(ρ(ν)是辐射场能量密度),可以得到:

B_12 = (π|d_12|^2)/(3ε_0ħ^2)

这里|d_12|是跃迁偶极矩的模,ε_0是真空介电常数,ħ是约化普朗克常数。因子1/3来自对偶极矩取向的平均——假设原子取向随机分布。

同样的计算给出B_21 = B_12,证实了爱因斯坦从热平衡推断的结果。这一等式的物理根源是跃迁矩阵元的厄米性:d_12 = d_21*,因此|d_12|^2 = |d_21|^2。吸收和受激辐射是时间反演对称的过程,其概率相等。

自发辐射系数可以从A/B比值得到。利用爱因斯坦关系A_21/B_21 = 8πhν^3/c^3,代入B_21的表达式,得到:

A_21 = (ω^3|d_12|^2)/(3πε_0ħc^3)

这里ω = 2πν是圆频率。A系数正比于ω^3,意味着高频跃迁的自发辐射速率远大于低频跃迁。例如,可见光波段的原子跃迁寿命(τ = 1/A_21)在纳秒量级,而微波波段的跃迁寿命可达毫秒甚至秒量级。这一频率依赖性对不同波段的激光器设计有重要影响。

跃迁偶极矩d_12是原子波函数的泛函,可以通过求解原子的薛定谔方程得到。对于氢原子,波函数有解析表达式,跃迁偶极矩可以精确计算。例如,氢原子1s→2p跃迁的偶极矩约为0.74ea_0,其中e是电子电荷,a_0是玻尔半径。对于更复杂的原子,通常需要数值方法。

跃迁偶极矩还决定了选择定则。由于偶极矩算符是奇宇称的,只有宇称相反的态之间才有非零的偶极矩阵元。对于原子,这导致角动量选择定则Δl = ±1。违反选择定则的跃迁被称为"禁戒跃迁",其偶极矩为零,必须通过更高阶多极矩(如磁偶极或电四极)发生,速率比允许跃迁慢很多个数量级。

振子强度是描述跃迁强度的无量纲参数,定义为f_12 = 2mω|d_12|^2/(3ħe^2),其中m是电子质量。振子强度度量了量子跃迁与经典振子的相对强度。根据托马斯-赖希-库恩求和规则,一个电子的所有跃迁的振子强度之和等于1。这一规则是量子力学完备性的体现,在光谱学中有重要应用。

自发辐射的量子起源:真空涨落

在爱因斯坦的唯象理论中,自发辐射是作为独立于外界辐射场的过程引入的。但是,是什么触发了激发态原子的跃迁?为什么激发态不是稳定的?量子电动力学给出了深刻的回答:自发辐射是原子与真空场涨落相互作用的结果。

在量子场论中,真空态不是"空无一物"的状态,而是所有场模式都处于基态的状态。根据海森堡不确定关系,场的振幅和相位(或等价地,两个正交求积分量)不能同时为零。即使没有任何光子,电磁场仍存在不可消除的零点涨落。真空态中的电场期望值为零⟨0|E^|0⟩ = 0,但电场平方的期望值不为零⟨0|E^2|0⟩ = ε_0^2 ≠ 0。这些涨落的电场可以与激发态原子相互作用,诱导跃迁。

从跃迁矩阵元的角度看,自发辐射的存在直接体现在√(n+1)因子中的"1"。当n = 0时(真空态),矩阵元⟨1, 1|H'|2, 0⟩ = -ħg√1 = -ħg不为零。这意味着即使初始场中没有光子,激发态原子仍有概率跃迁到基态并发射一个光子。这个非零矩阵元正是真空涨落的贡献。

可以将自发辐射理解为"被真空涨落激发的辐射"。从这个观点看,受激辐射和自发辐射本质上是同一种过程:都是电磁场与原子相互作用导致的跃迁。区别只在于场的状态——受激辐射是被含有真实光子的场所诱导,自发辐射是被只含虚光子(真空涨落)的场所诱导。这一统一图像是量子电动力学的重要成就。

真空涨落的存在可以从另一个角度理解。每个场模式的零点能为ħω/2,这表示场的最低能量状态仍有不确定的电场涨落。这些涨落在时空中不断出现和消失,可以视为虚光子的短暂借用和归还。根据能量-时间不确定关系ΔE * Δt ≥ ħ/2,能量为ħω的涨落可以存在约1/ω的时间。这些涨落不断"试探"激发态原子,有一定概率诱导它跃迁。

自发辐射的方向性也可以从真空涨落角度理解。真空态是各向同性的,各个方向的场模式都存在涨落。因此,自发辐射的光子可以向任意方向发射,没有优选方向。发射概率的角分布由跃迁偶极矩的取向决定:对于沿z方向的偶极跃迁,辐射概率正比于sin^2θ,其中θ是偶极方向与辐射方向的夹角。这与经典偶极辐射的角分布完全一致。

自发辐射的随机性是另一个重要特征。每个激发态原子何时跃迁是不可预测的,只有统计规律是确定的:大量原子的衰变服从指数规律,衰变常数为A_21。单个原子的跃迁时刻是真正随机的量子事件,不是由任何隐藏变量决定的。这种本质随机性是量子力学的基本特征。

真空涨落还导致了其他可观测效应。兰姆移位是氢原子2S_1/2和2P_1/2能级之间的微小能量差,在狄拉克理论中这两个能级简并,但实验测量到约1057兆赫兹的分裂。这主要源于电子与真空电场涨落的相互作用:涨落的电场使电子发生微小振动(被称为颤动),改变了它感受到的有效库仑势。兰姆和雷瑟福于一九四七年的精密测量成为量子电动力学发展的关键推动力。

电子的反常磁矩是另一个真空效应。电子的g因子在狄拉克理论中精确等于2,但实验测量值略大。这一"反常"源于电子与真空光子的相互作用:电子不断发射和吸收虚光子,这些过程修正了电子的有效磁矩。量子电动力学对反常磁矩的计算与实验符合到小数点后十位以上,是物理学史上最精确的理论预言之一。

卡西米尔效应是真空涨落最直接的宏观表现。两块平行导电板之间的场模式受边界条件限制,允许的模式数比自由空间少。这导致板间的真空能量密度低于外部,表现为两板之间的吸引力。卡西米尔于一九四八年预言了这一效应,后来的精密实验证实了理论预言。这一效应虽然微弱,但在微纳米尺度的器件设计中必须考虑。

受激辐射的相位继承与激光相干性

激光最显著的特征是其高度相干性——能够产生稳定、高对比度的干涉条纹。这一特性的微观起源是受激辐射的相位继承性:受激发射的光子与诱导它的入射光子具有完全相同的相位。

在量子力学中,受激辐射过程可以这样理解:入射光场处于某一量子态(如相干态|α⟩),原子处于激发态|2⟩。相互作用使系统演化,原子有概率跃迁到基态,同时光场的激发增加——即多了一个光子。关键是,新增的光子进入与原有光子完全相同的模式,包括相同的频率、偏振、传播方向和相位。

这种相位继承可以从矩阵元的形式看出。考虑光场处于相干态|α⟩,原子从激发态跃迁到基态,相互作用哈密顿量的作用是⟨1|⟨α'|H'|2⟩|α⟩。计算表明,跃迁后光场仍近似处于相干态,但振幅增大、相位不变:|α⟩ → |α'⟩,其中|α'| > |α|,arg(α') = arg(α)。受激辐射使相干态的振幅增大而不改变相位,这正是激光放大过程中相位保持的数学表述。

相位继承性是光子玻色性质的直接后果。玻色子服从玻色-爱因斯坦统计,倾向于占据相同的量子态。在受激辐射中,新产生的光子进入与入射光子相同的态,两个光子变得完全全同,相位自然相同。这与费米子(如电子)形成鲜明对比:费米子服从泡利不相容原理,两个费米子不能占据同一量子态。

自发辐射则完全不同。自发辐射的光子进入所有可能的模式,每个模式的概率由模式密度和跃迁偶极矩的取向决定。发射光子的相位与原有光场(如果有的话)无关,是随机的。这种随机性导致自发辐射光源(如荧光灯、发光二极管)发出的光缺乏相干性。

在激光器中,受激辐射占主导地位。腔内光场通过受激辐射不断被放大,同时保持相位的一致性。大量光子协同振荡,形成具有确定相位的宏观电磁场。当然,自发辐射始终存在,不断向场中注入随机相位的光子。但由于腔内光子数很大(典型值为10^8到10^15),每次自发辐射事件对整体相位的影响很小。激光相位发生缓慢的随机游走,这是激光线宽有限的根本原因。

激光的时间相干性可以用一阶相干函数g^(1)(τ)来表征。它定义为场在时刻t和t + τ的归一化关联:g^(1)(τ) = ⟨E*(t)E(t + τ)⟩ / ⟨|E(t)|^2⟩。对于理想相干态,g^(1)(τ) = exp(iωτ),模为1,表示完美的一阶相干性。实际激光由于相位扩散,|g^(1)(τ)|随τ增加而从1衰减到0,衰减的特征时间就是相干时间τ_相干。相干长度L_相干 = c * τ_相干是激光能够产生高可见度干涉的最大光程差。

激光的空间相干性与时间相干性同样优异。由于激光来自单一的受激辐射过程,整个光束截面上的相位是一致的。这使得激光能够产生全场相干的干涉图样,是全息术等应用的基础。相比之下,扩展热光源的空间相干性受源尺寸限制,由范西特-泽尼克定理描述。

受激辐射的方向继承性是激光高方向性的微观基础。受激发射的光子与入射光子具有相同的波矢,即传播方向相同。在激光器中,沿腔轴方向传播的光被选择性放大:这个方向的光在增益介质中来回多次,经历多次受激放大;其他方向的光很快逃出腔外,得不到有效放大。经过竞争,只有沿腔轴方向的模式建立振荡,形成高度准直的光束。

光子统计与量子相干性理论

要完整刻画光场的量子性质,需要超越一阶相干函数,考虑高阶统计特性。格劳伯发展的量子相干性理论提供了完整的框架,特别是二阶相干函数在区分不同类型光源方面具有关键作用。

二阶相干函数(强度关联函数)定义为光强在不同时刻的归一化关联:g^(2)(τ) = ⟨I(t)I(t + τ)⟩ / ⟨I(t)⟩^2。对于量子化光场,光强正比于光子数,g^(2)(τ)可以用光子数的关联来表示。在零时延处,g^(2)(0) = ⟨n̂(n̂ - 1)⟩ / ⟨n̂⟩^2 = ⟨a†a†aa⟩ / ⟨a†a⟩^2。

g^(2)(0)的值可以区分三类光场。对于经典光场,可以证明g^(2)(0) ≥ 1恒成立;g^(2)(0) < 1是纯粹的量子效应,没有经典对应。

对于相干态|α⟩,直接计算给出g^(2)(0) = 1。这反映了泊松统计的独立性:相干态中光子的到达是完全随机的,前后光子之间没有关联。g^(2)(0) = 1是相干态(以及理想激光)的特征值。

对于热光(如白炽灯、太阳光),光子数服从玻色-爱因斯坦分布,g^(2)(0) = 2。这意味着两个光子同时到达的概率是随机情况的两倍——光子倾向于"成群结队"地出现。这种现象称为光子聚束,是热光的典型特征。聚束效应的物理根源是热光场振幅的剧烈涨落:光强高时光子来得密集,光强低时光子稀疏。

对于单光子态|1⟩,g^(2)(0) = 0。这意味着永远不会同时探测到两个光子——每次只有一个光子,不可能同时到达。这种现象称为光子反聚束,是经典光场绝不可能表现出的行为。反聚束是光量子性质的直接体现。

g^(2)(τ)作为时延的函数也揭示了重要信息。对于热光,g^(2)(τ)从τ = 0处的最大值2衰减到τ → ∞时的1,衰减时间由光源的相干时间决定。这一行为反映了热光强度涨落的时间尺度。对于相干态,g^(2)(τ) = 1对所有τ成立,没有时间结构。对于单光子源,g^(2)(τ)在τ = 0附近有一个"空洞"(值小于1),随后恢复到1,空洞的宽度与光子产生的间隔时间有关。

光子统计的测量通常采用汉伯里-布朗-特维斯装置。光束被分束器分成两路,分别由两个探测器接收,测量两路信号的关联。对于热光,两个探测器倾向于同时响应(正关联);对于相干光,两个探测器的响应相互独立(无关联);对于单光子源,两个探测器不会同时响应(负关联)。这种测量直接反映了g^(2)(0)的值。

压缩态是另一类重要的非经典光场。在压缩态中,某一求积分量的涨落被"压缩"到低于真空涨落的水平,代价是正交分量的涨落增大。根据不确定关系,两个分量涨落的乘积不能小于最小值1/4,但可以通过"挤压"一个分量来降低其涨落。压缩态的光子统计可以是亚泊松的(方差小于均值),对应g^(2)(0) < 1。压缩态在精密测量中有重要应用,可以突破标准量子极限。

实验验证:从光子计数到腔量子电动力学

量子光学理论的预言需要通过精密实验来验证。历史上,一系列关键实验确立了光场量子化的正确性,证实了受激辐射和自发辐射的量子特性。

光子聚束效应的首次观测可追溯到一九五六年汉伯里-布朗和特维斯的实验。他们最初的目的是发展一种新型的天文测量技术——强度干涉仪,用于测量恒星的角直径。实验装置很简单:来自热光源的光被分束器分成两路,由两个光电倍增管探测,然后测量两路信号的乘积。对于热光,他们观测到了正关联,证实了g^(2)(0) = 2的理论预言。

这一结果起初引起了相当大的争议。批评者认为,如果光子是不可分割的粒子,被分束器分到两路中的一路,怎么可能在两个探测器上同时产生信号?这个疑难的解决需要理解光子探测的量子力学:探测器测量的是场的正常序关联函数,而非光子数的简单关联。对于热光场,这种关联确实存在,可以用场振幅的涨落来理解。

激光的g^(2)(0) = 1与热光形成对比。在类似的强度关联实验中,激光不显示聚束效应。这一预言在激光器发明后不久即被验证。通过比较同一波长的热光和激光在汉伯里-布朗-特维斯实验中的表现,可以清楚地看到两种光源的统计差异。

光子反聚束效应的观测是证明光量子性质的决定性实验。一九七七年,金布尔、达根奈和曼德尔在共振荧光实验中首次观测到g^(2)(0) < 1。他们用激光激发稀薄的原子束,收集单个原子发出的荧光进行强度关联测量。由于每个原子一次只能发射一个光子,发射后需要经过激发-弛豫周期才能再次发射,两个光子不可能在短时间内连续发出。实验观测到的g^(2)(0) ≈ 0确凿地证明了荧光的非经典性质。这一结果无法用任何经典场模型解释,是光的粒子性的直接体现。

自发辐射系数的测量通过荧光寿命实验来进行。将原子激发到上能级后,监测荧光强度随时间的衰减。如果只有一个衰变通道,荧光强度按指数规律衰减:I(t) = I_0 * exp(-t/τ),其中τ = 1/A_21是辐射寿命。现代脉冲激光技术可以产生飞秒量级的超短脉冲,使得对快速衰变过程的精确测量成为可能。以钠原子D线为例,3P能级的辐射寿命约为16纳秒,与量子理论计算符合得很好。

腔量子电动力学实验提供了在单光子水平研究原子-场相互作用的平台。在高品质因数的光学腔或微波腔中,原子与腔模式的耦合被*增强。普塞尔效应是其中一个重要现象:当原子跃迁频率与腔模式共振时,自发辐射速率可以被增强;当两者失谐时,自发辐射可以被抑制。这是因为腔改变了原子周围的场模式密度,从而影响了自发辐射速率。

一九八五年,克莱普纳等人将里德伯原子(处于高激发态的原子)置于超导微波腔中,首次观测到普塞尔增强效应。里德伯原子的跃迁频率在微波波段,与腔的共振频率匹配。他们观测到自发辐射速率增强了约五百倍,与理论预言一致。相反,当腔共振频率与原子跃迁失谐时,自发辐射被抑制,原子寿命延长。

强耦合腔量子电动力学代表了这一领域的前沿。当原子-腔耦合强度g超过原子的自发辐射速率γ和腔模式的衰减速率κ时,系统进入强耦合区域。在这种情况下,原子和场不能独立描述,必须作为耦合系统处理。真空拉比振荡是强耦合的典型特征:激发态原子在空腔(没有光子)中不是简单地指数衰减,而是与腔模式相干地交换能量,发生周期性振荡。原子激发-光子激发-原子激发……这种周期性交换体现了原子与场的强耦合。

一九九六年,基姆布尔小组在光学腔中观测到了真空拉比振荡。他们将单个铯原子送入高精细度的光学腔,通过监测透射光的变化来探测原子-腔的耦合动力学。实验清楚地显示了原子激发与腔光子之间的相干振荡,周期由耦合强度g决定。这一实验标志着腔量子电动力学进入了单原子-单光子的量子极限。

压缩态的产生与探测是量子光学的另一重要成就。一九八五年,斯卢舍等人在贝尔实验室利用四波混频过程首次产生了压缩光。此后,参量下转换成为产生压缩态的标准方法:一个高频泵浦光子在非线性晶体中转化为两个低频光子(信号光子和闲频光子),这两个光子具有强烈的量子关联。通过平衡零拍探测,可以测量压缩态求积分量的涨落低于真空涨落的程度。目前最好的压缩光源可以产生超过十五分贝的压缩。

激光原理的量子光学综合图景

综合前面各节的讨论,我们现在可以给出激光原理的完整量子光学图景。这一图景将微观量子过程与宏观激光特性联系起来,解释了激光为何具有独特的单色性、相干性、方向性和高亮度。

激光器的工作依赖于三个基本要素:增益介质、泵浦机制和光学谐振腔。增益介质是能够发生受激辐射的原子、分子或固体材料。泵浦机制(光泵浦、电泵浦或化学泵浦)向增益介质输入能量,建立粒子数反转——使处于上能级的原子数超过下能级。光学谐振腔由两面反射镜构成,使光在增益介质中多次往返。

在量子图景中,激光振荡的建立可以这样理解。最初,腔内只有真空涨落,处于上能级的原子通过自发辐射发出光子。这些光子的相位是随机的,方向是各向同性的。但是,沿腔轴方向发射的光子有机会在腔内多次往返,每次经过增益介质时通过受激辐射被放大。其他方向的光子很快离开腔体,得不到有效放大。

随着腔轴方向光子数的增加,受激辐射逐渐占据主导地位。受激辐射产生的光子与已有光子具有相同的频率、相位、偏振和方向,使光场保持相干。当增益(光子通过受激辐射增加的速率)超过损耗(光子通过输出镜透射、吸收和散射损失的速率)时,光子数指数增长。最终,增益饱和(因上能级原子数消耗)与损耗达到平衡,激光器进入稳态工作。

在稳态下,腔内光场近似处于相干态|α⟩。相干态的形成是受激辐射相位继承性的自然结果:大量光子协同振荡,形成具有确定相位的宏观电磁场。相干态的振幅|α|由增益-损耗平衡确定,其平方|α|^2给出腔内平均光子数。对于典型的激光器,这个数目在10^8到10^15之间。

激光的高单色性源于以下几个因素。首先,原子跃迁频率是量子化的,确定了发射光的中心频率。其次,光学谐振腔只允许满足驻波条件的模式振荡,进一步选择频率。第三,受激辐射的增益竞争使最接近增益峰值的模式获得最大放大,其他模式被抑制。激光线宽的极限由自发辐射引起的相位扩散决定(夏洛-唐斯线宽),但实际激光器的线宽通常受技术噪声限制。

激光的高相干性是相干态的固有属性。相干态具有确定的相位(在量子涨落允许的范围内),能够产生稳定的干涉条纹。时间相干性表现为光场在不同时刻的相位关联,由一阶相干函数|g^(1)(τ)|描述;空间相干性表现为波前上不同点的相位一致。激光的相干长度可达数百公里(对于超稳激光),远超普通光源。

激光的高方向性是受激辐射方向继承性和谐振腔几何选择的共同结果。受激辐射的光子与入射光子具有相同的波矢,沿同一方向传播。谐振腔只允许近轴传播的模式多次往返并被放大,偏离轴向的光很快离开腔体。激光束的发散角可以接近衍射极限θ ≈ λ/(π * w_0),其中w_0是束腰半径。

激光的高亮度是上述特性的综合体现。亮度定义为单位面积、单位立体角、单位频率间隔内的功率。激光将能量集中在极窄的频率范围(高单色性)和极小的立体角(高方向性)内,因此单位频率、单位立体角内的能量密度极高。此外,光子的玻色统计允许任意数目的光子占据同一模式,没有类似费米子的占据数限制。这种玻色增强使激光可以达到任意高的光子密度。

自发辐射在激光物理中扮演双重角色。一方面,自发辐射是激光振荡的"种子":没有自发辐射,空腔中不会有初始光子,受激辐射无从发生。另一方面,自发辐射是激光噪声的来源:稳态工作时,自发辐射不断向激光场注入随机相位的光子,引起相位漂移,限制线宽。这种矛盾统一体现了自发辐射在激光物理中的独特地位。

总结

本讲义系统阐述了量子光学诠释激光原理的理论框架。我们从光场量子化出发,建立了产生湮灭算符、数态、相干态等基本概念。光场量子化将电磁场分解为独立的振动模式,每个模式用量子谐振子描述,能量本征值E_n = ħω(n + 1/2)体现了光子作为场激发的粒子性。相干态作为湮灭算符的本征态,具有泊松光子统计、确定的相位(在量子涨落范围内)和最小不确定度,是描述理想激光场的恰当量子态。

原子与量子化光场的相互作用通过偶极哈密顿量描述。利用含时微扰理论和费米黄金规则,我们推导出了爱因斯坦系数的量子表达式:B_12 = π|d_12|^2/(3ε_0ħ^2),将宏观辐射系数与微观跃迁偶极矩联系起来。受激辐射与自发辐射在量子理论中自然统一,体现在跃迁矩阵元正比于√(n+1)这一事实中:因子n对应受激辐射,因子1对应自发辐射。自发辐射的起源是激发态原子与真空场涨落的相互作用,这一图景将两种辐射过程归结为同一机制。

量子相干性理论提供了刻画光场统计特性的工具。二阶相干函数g^(2)(0)区分了三类光场:相干态(g^(2)(0) = 1,泊松统计)、热光(g^(2)(0) = 2,聚束效应)和单光子态(g^(2)(0) = 0,反聚束效应)。反聚束是经典光场不可能表现的行为,是光量子性质的直接证据。汉伯里-布朗-特维斯实验、光子反聚束实验、荧光寿命测量、腔量子电动力学实验等一系列工作验证了理论预言,确立了量子光学的实验基础。

激光的宏观特性——单色性、相干性、方向性和高亮度——都可以从量子图景中得到诠释。单色性源于原子能级量子化、谐振腔选模和增益竞争;相干性源于受激辐射的相位继承和相干态的形成;方向性源于受激辐射的动量守恒和腔的几何选择;高亮度源于能量在频谱和空间的集中以及玻色子的统计增强。量子光学为理解激光提供了完整的理论框架,也为量子信息、精密测量等前沿领域的发展奠定了基础。

版权声明：本文转载于今日头条，版权归作者所有，如果侵权，请联系本站编辑删除