更新时间：作者：小小条
什么的函数的周期性？设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f(x+T)= f(x)，则称f(x)是数集M上的周期函数，常数T称为f(x)的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f(x)的最小正周期。
上面这段话是函数周期的定义，现在的教材最大的问题是，不显著标注定义，这不利于学生自学，不利于深刻理解概念。上述定义中，我们可以得出一个关键点，周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数。那么周期函数是不是一定有最小正周期呢？不一定，比如，狄利克雷函数就没有最小正周期，但它是周期函数。
狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，无法画出它的函数图像，但是它的函数图像客观存在，以任意正有理数为其周期，无最小正周期。这个大家知道一下就行了，不做要求。
上面一段话如果不太理解，就不用看，只要记住定义：f(x+T)= f(x)
还是直接从例子出发来讲。
分析：虽然貌似给出了函数表达式，但它是给定了定义域条件的，而所求的值的范围已不再此范围内，函数表达式仍是未知的，是抽象函数，不知道函数表述式，要求出函数的值，一般就是考你会不会用周期性，把给定的自变量变换到所给定的已知的函数表达式的定义范围内。
有了周期，下一步就是压缩自变量的范围了。
小结一下，凡是让你求超出已知函数表述式定义域范围的函数值时，都要考虑能否利用周期性，将这个参数压缩至这个范围内。要判断是否是周期函数及求出周期时，都是通过令x为特定值，代入已知的关系式，得到两个以上关系式联立消元，目标是得到周期函数的标准定义式。
下面再看一个例子。
有了上一题的经验，直接就可决定从函数的周期性入手，方法也是同上。只是此题多了一个条件，这个条件肯定是最后压缩后解决最后一公里时要用到的。
刚才这道题里，出现了对称性的条件，实际上，有一个课本上没有结论，先把它告诉你，你可以作为常识记住，下一讲我们会给出证明，而且证明的方法就是解决此类问题的方法，在做一些综合性选择题时，可以直接用该结论，可以节约时间并提供解决问题的方向。
这个结论就是：原点对称、轴对称、周期性这三个条件，如果某一个函数具备其中两个条件，则第三条件必然也具备。
为了辅助记忆这个结论，你可以把正弦或余弦函数当例子，比如，一个正弦函数，它是原点对称的，也是轴对称的，同样也是周期函数。
下面给个练*，本质上就是上述结论的应用，试着做一下，下一讲与结论的证明一同进行说明。
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