更新时间：作者：小小条
题目一：三角形的内切圆半径
题目： 在△ABC中，边长为AB=7，BC=9，CA=8。求△ABC的内切圆半径。
**解题方法：**
1. **计算半周长（s）：**
\( s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{7 + 9 + 8}{2} = 12 \)
2. **求面积（S）：**
使用海伦公式：
\[
S = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - CA)} = \sqrt{12 \times (12 - 7) \times (12 - 9) \times (12 - 8)} = \sqrt{12 \times 5 \times 3 \times 4} = \sqrt{720}
\]
\[
S = 12 \sqrt{5}
\]
3. **求内切圆半径（r）：**
\[
r = \frac{S}{s} = \frac{12 \sqrt{5}}{12} = \sqrt{5}
\]
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题目二：圆内接四边形的性质
题目：*已知四边形ABCD内接于一个圆，且AB=6，BC=8，CD=10，DA=12。求四边形的面积。
解题方法：
1. 利用四边形的对角线和：
由四边形内接圆的性质，四边形的对角线满足：
\[
AC \times BD = AB \times CD + BC \times DA
\]
2. 计算：
\[
AC \times BD = (6 \times 10) + (8 \times 12) = 60 + 96 = 156
\]
3. **进一步求面积：**
由于题中没有给出角或对角线长度，若需要面积，可以考虑使用 Brahmagupta 公式（适用于圆内接四边形）：
\[
S = \sqrt{(s - AB)(s - BC)(s - CD)(s - DA)}
\]
其中，
\[
s = \frac{AB + BC + CD + DA}{2} = \frac{6 + 8 + 10 + 12}{2} = 18
\]
所以：
\[
S = \sqrt{(18 - 6)(18 - 8)(18 - 10)(18 - 12)} = \sqrt{12 \times 10 \times 8 \times 6} = \sqrt{57600} = 240
\]
**答：** 四边形的面积为 240。
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### 题目三：直线与圆的位置关系
**题目：** 已知圆 \(x^2 + y^2 = 25\)，直线 \(y = 3x + 4\)。判断直线与圆的位置关系，并求交点（如果有的话）。
**解题方法：**
1. **判断关系：**
将直线方程代入圆的方程，求判别式：
\[
x^2 + (3x + 4)^2 = 25
\]
展开：
\[
x^2 + 9x^2 + 24x + 16 = 25
\]
\[
10x^2 + 24x + 16 - 25 = 0
\]
\[
10x^2 + 24x - 9 = 0
\]
2. **判别式：**
\[
\Delta = 24^2 - 4 \times 10 \times (-9) = 576 + 360 = 936 > 0
\]
因此，直线与圆相交，有两个交点。
3. **求交点：**
\[
x = \frac{-24 \pm \sqrt{936}}{2 \times 10} = \frac{-24 \pm 6 \sqrt{26}}{20} = \frac{-12 \pm 3 \sqrt{26}}{10}
\]
对应的 \(y\) 值：
\[
y = 3x + 4
\]
**答：** 直线与圆相交，有两个交点，具体坐标为：
\[
\left( \frac{-12 + 3 \sqrt{26}}{10}, \quad 3 \times \frac{-12 + 3 \sqrt{26}}{10} + 4 \right)
\]
和
\[
\left( \frac{-12 - 3 \sqrt{26}}{10}, \quad 3 \times \frac{-12 - 3 \sqrt{26}}{10} + 4 \right)
\]
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这些题目涵盖了高考几何常考的内容，包括三角形的性质、四边形的性质、圆的方程与位置关系，解题思路清晰，适合练*和理解。
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