更新时间：作者：小小条
不同于“泰勒公式”的用多项式近似复杂函数，“帕德逼近”是用有理函数（多项式之比）逼近，精度更高，尤其是在远离展开点的地方。
说好的不再考比较大小的，2025年的高考数学又一次“失去了信用”。函数比较、极限计算让无数考生抓耳挠腮，彼时只知泰勒公式的便捷，却不知帕德逼近这柄 “隐藏杀器”—— 它以有理函数为刃，精度更胜一筹，堪称复杂函数问题的 “精准打击利器”。直到深入了解才发现，它在近似计算的赛道上，早已实现了对传统多项式逼近的弯道超车。
亨利・帕德（Henry Padé，1863 年 12 月 17 日－1953 年 7 月 9 日），法国著名数学家，生于巴黎近郊的阿让特伊。他早年深耕数学分析领域，尤其专注于函数逼近理论的研究。1892 年，帕德在其博士论文中系统提出了 “有理函数逼近法”，即后来以他命名的 “帕德逼近”，这一成果为数值分析、微积分计算开辟了全新路径。
与泰勒的 “跨界” 背景不同，帕德一生专注于数学研究，他发现泰勒公式虽以多项式逼近复杂函数，但在远离展开点的区间精度会快速下降，且对某些奇异函数 “束手无策”。于是他另辟蹊径，用 “多项式之比”（有理函数）替代单纯的多项式，构建出精度更高、适用范围更广的逼近方法。这一成果直到 20 世纪中期才被广泛认可，如今已成为数值计算、工程模拟、数学竞赛等领域的核心工具，被称为 “有理函数逼近的基石”。
如果说泰勒公式是用 “整式积木” 搭建复杂函数的近似模型，帕德逼近就是用 “分式积木” 进行精雕细琢 —— 它通过分子 L 次多项式与分母 M 次多项式的比值，来逼近目标函数，记为 [L/M] 型帕德逼近。
其核心思想与泰勒公式一脉相承，都是 “以简驭繁”，但优势更为突出：泰勒公式是帕德逼近的特殊情况（分母为常数项 1 的 [L/0] 型），而帕德逼近通过分母的多项式调节，能在更广阔的区间内保持高精度，尤其对对数函数、指数函数、三角函数等在远离展开点的场景，精度提升尤为明显。
这些简洁的二级结论，正是高考解题的 “提速密钥”。
帕德逼近在高考数学的函数比较、不等式证明、极限计算等题型中，堪称 “省时神器”—— 无需复杂构造函数，直接代入逼近公式，1 分钟即可锁定答案。
构造函数 f (x)=ln (1+x)-x，g (x)=ln (1+x)-(2x)/(2+x)，通过求导判断单调性，进而比较大小，步骤繁琐且耗时（约 5 分钟）。
除了高考题型，帕德逼近在高等数学中更是 “得心应手”：
处理复杂极限问题时，能避免泰勒公式的高阶展开繁琐计算，尤其对分式型极限，一步化简即可得出结果；在数值计算中，对工程模拟、物理建模中的函数近似，精度远超同阶泰勒公式，且计算量更小；在数学竞赛中，面对含参数的函数不等式证明，帕德逼近能快速构造出 “放缩桥梁”，突破解题瓶颈。如果说泰勒公式打开了微积分增量逼近的大门，帕德逼近就是为这扇门装上了 “精准瞄准镜”—— 它以有理函数的灵活性，弥补了多项式逼近的局限性，在高考解题中实现 “快准狠”，在高阶数学中彰显 “高精度”。掌握帕德逼近的核心结论，就等于手握一把函数问题的 “万能钥匙”，无论是高考实战还是后续的数学学*，都能实现效率与精度的双重提升。
最后，附赠一份高考高频函数的帕德逼近二级结论清单。涵盖 ln (1+x)、eˣ、sinx 等常考函数的 [1/1]、[2/1] 型逼近公式，直接打印即可用于刷题。
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