更新时间：作者：小小条
“图像”是高中数学中的一个重要工具，“数形结合”是高中数学老师最常提及的思维方式。
图像具有比文字和公式更高的信息整合度，它可以帮你发现题目条件的关联，甚至有些时候，你的图像就是答案本身：因为一道题目的题干往往会给予我们许多已知数据，仅仅盯着这些数据和条件进行思索，你可能很难发现这些条件之间具有怎样的关联。
但是如果你把它们转换成具体的图像，并将已知数据标注在图像的相应位置上，你就可以非常直观地通过图像了解到所有数据之间的相应关系，这就是数学老师经常向学生强调“数形结合”的原因所在。
甚至高考数学中的一些题目，也是完全可以通过观察图像的方法得到最终结果的。
那么，高考数学的计算题答题卡区域内，允许你画图吗？
如果允许，你能只画一个图吗？
我们再来讲一个真实的故事，这件事同样发生在我批阅高考试卷的过程中。
我们在这一章的第一节里提到过2018年的全国1卷理科数学第17题——一道解三角形的题目：
之前我们说过有学生居然在考场上通过精确画图量出了最后一问的答案，但你以为考场上的神答案只有这一种吗？
绝对不止。
如果你学过高中数学的“解三角形”，那么你会知道这道题目本质上是在考查“正余弦定理”。
但这道题如果你拿给一位初中生，说不定他也能做出答案。因为你不需要“正余弦定理”也能解答这道题，你只需要作几条辅助线就可以。
我把这道题目的几何解法放在了下图中。请注意，该图的解题思路是正确的，但不代表解题答案是完整的。这样的写法不符合阅卷的评分标准。具体在借助图像工具解答高考数学题目时，应注意哪些细节，我们在稍后的章节中还会更进一步讲到。
你可以看到在四边形ABCD中，题目给了四个条件：它们分别是两个角的角度和两条边的长度，第二问又给出了DC这条边的边长，把一个四边形分割成了两个三角形。
如果你过点B再作两条垂线，就可以进一步把整个图像分割为四个直角三角形。
现在请你仔细看上图，我们从右下方开始说起：
首先因为角A是45度，在直角三角形ABE中，我们可以轻易地算出BE和AE的边长为[插图]。
然后，在三角形BDE中考虑到斜边BD=5，因此通过勾股定理，你还可以算出DE的边长为[插图]，从而在直角三角形BDE中，可以轻易地得到角ADB的余弦值为[插图]，第一问解答完毕。
接下来你可以注意到：我们所作的两条垂线与CD和DE构成了一个矩形，由于已知DC=2√2，BE所对的那条矩形的宽只是DC边长的一半，因此CDB事实上是一个等腰三角形，从而BC的边长等于BD，那么，第二问的答案应该是5。
事实上，这样的方法非常初级，但是极其有效。尽管没有用到任何高中知识，但是这样的解题思路也被考试院列为对社会公布的标准答案之一。
在2018年的阅卷场上，我遇到的另一个极端的案例是这个样子的：一名考生在试卷的答题纸上清晰地画出了我们上一小节演示图中的这个图像，一个四边形，加上题目条件给出的对角线和两条辅助线，整个图像总共有七条线段。
他在这一张图的七条线段上准确标注了每一条线段的长度，可偏偏整张试卷没有任何关于计算过程的文字描述。
他的整个答题纸页面只有这一个图像和三行文字，我把他全部的文字叙述呈现在下面，大家可以看到这三行文字分别是：
真是言简意赅，一个字都不愿多写。
你看，他的思路明显正确，结果也没有问题，然而却缺乏评分细则里罗列的关键步骤的必要描述。如果你是阅卷老师，你打算怎么处理这张试卷？
我只好按照标准流程，把这份试卷标注为问题卷，直接提交给了阅卷组长，发起集体商议。
我无法向你透露这次商议的最终结果，但是很明显，我讲出这个故事，是想要告诉你这样的答题方式是绝对不被推荐的。
各位同学在高考答题的过程中，有时候会不可避免地需要画一些图像作为辅助工具，切记在作图的过程中，有些关键的图像与数据来源方式需要进行说明。
在涉及几何作图的评分细则中，“辅助线”与“辅助点”的绘制方法以及相关线段长度的计算思路是被作为采分点进行明确标注的。
当你需要在图形中绘制题目没有给出的辅助线时，就需要具体说明这条辅助线的绘制方法，例如：过某一点，作另一条直线的垂线，或者过某一点，作另一条直线的平行线。此外，一些辅助点的绘制方法，也需要用文字加以具体说明，例如：你想要作某条线段的中点，或某条线段的三等分点，等等。
题目中没有给出的线段长度，如果你标注在了图形中，那么具体的计算思路也需要使用文字加以说明。比如，有些线段的长度，是通过三角形中的勾股定理进行计算的；或者有一些线段的长度，是通过三角形相似的比例关系进行计算的。
上面我所列举的内容，均需要使用具体的文字对其计算思路加以说明。
当然，在数学的高考试卷中还有一类题目与几何图像密切相关，那就是立体几何与空间向量，我们不妨看一道立体几何题目的标准解答过程。
下面这道题出自2016年全国新课标三卷理科数学的19题：
如图，四棱锥P-ABCD中，PA垂直于底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点：
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。
这道题的第一问是求证线面平行，请你回忆一下咱们在第一章第三小节谈到过的立体几何证明框架，如果要作辅助线，这道题目的辅助线应该出现在哪里？
这道题的第二问是求直线与平面所成角的正弦值，解答这类问题应该建立一个直角坐标系，因此你要回答得更具体的问题就是，这个坐标系的三条坐标轴应该放在什么位置？
我把这道题目的标准答案放在下面，请你仔细观察它的文字叙述：
解：（Ⅰ）由已知得
取BP的中点T，连接AT，TN。
由N为PC的中点知
又故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT
因为AT∩面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB
（Ⅱ）取BC的中点E，连接AE，由AB=AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD且
以A为坐标原点[插图]的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz。
答案的第一步是找到了BP的中点，并以之为端点连接了两条辅助线；而答案的第二步涉及空间建系，标准的解答中，用文字说明了坐标系是如何建立的：它以哪个点为原点？又分别以哪些方向为三条坐标轴的正方向？
在坐标系建立完成之后，标准答案直接标注相关点的空间直角坐标，它没有花费大量篇幅详细叙述每一个点的坐标。
因为就这道立体几何与空间向量的题目而言，老师真正关注的重点是如何计算平面的法向量以及判别直线与平面的平行关系。
许多同学在解立体几何的大题时，用了详细的步骤说明每一个点的坐标是如何计算得到的，其实并没有必要。
阅卷人真正关注的重点是你的图是如何画的。一旦你的图像绘制过程无误，那么搭配正确的运算结果，我们就不再关注你的具体运算细节。
前面我通过两道具体的题目向你详细解释了高考试卷中关键图像与关键数据的标注方式，我将它们和另几种常见的图像与数据标注形式总结在下面的图中。
通常而言，在引入“辅助线”与“辅助点”时，需要对它们的绘制方法进行具体的文字说明；在计算出未知线段的长度时，也需要对这条线段的计算思路进行说明。
当然也有例外，比如前面说的立体几何与空间向量这道大题。这道大题的第二问，阅卷老师真正关心的是你的空间建系思维以及向量方法的应用能力，所以作图过程中，你只需要说明坐标系的建立方法，然后直接标出各个点在该坐标系下对应的空间直角坐标即可。
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