更新时间：作者：小小条
在高考数学的小题赛道上，函数最值问题一直是区分度颇高的必考点。看似复杂多变的题干背后，其实只藏着单变量指对函数与多变量函数两类核心题型。只要吃透针对性的解题模板，就能用极简步骤实现“小题快做”，稳稳将这部分分值收入囊中。
一、 单变量指对函数：导数三板斧，三步锁定最值
单变量指对函数是高考的高频宠儿，函数表达式中往往藏着e^x或\ln x的身影。这类题的破解关键，从来不是繁琐的运算，而是“化简—求导—判单调”的三板斧，步步为营就能直击答案。
化简先行，拆解解题拦路虎。拿到函数表达式的第一秒，别着急求导，先观察结构做简化。碰到分式结构，就用拆项法降维，比如\frac{x+\ln x}{x}可拆成1+\frac{\ln x}{x}，瞬间减少求导的运算量；遇到根式或幂指混合结构，换元法就是利器，令t=\sqrt{x}或t=e^x，把陌生函数转化成熟悉的基本函数形式。这里必须敲黑板：化简后一定要先标注定义域！对数函数的x>0、分式的分母不为零，这些隐含条件是命题人埋下的第一个陷阱，忽略它就等于直接丢分。
求导找临界点，精准定位极值点。求导是这一步的核心，必须把基础导数公式烂熟于心：(e^x)'=e^x，(\ln x)'=\frac{1}{x}，乘积法则(uv)'=u'v+uv'。求导之后，务必通分整理，把导函数化成分子分母清晰的形式，再令f'(x)=0求解极值点。很多考生栽在这一步，要么是公式记混，要么是求导时漏项，建议对复杂函数分步求导，先算各部分导数再合并，避免因粗心大意出错。
判断单调性，敲定最值归属。算出极值点后，用极值点将定义域划分成若干区间，列表分析每个区间内f'(x)的正负。导函数为正，函数单调递增；导函数为负，函数单调递减。根据高考命题规律，单变量指对函数在定义域内通常只有一个极值点，这个点就是最值点。比如求f(x)=x-\ln x（x>0）的最小值，求导得f'(x)=1-\frac{1}{x}，令导数为零得x=1，通过区间分析可知x\in(0,1)时函数递减，x\in(1,+\infty)时递增，故最小值为f(1)=1。
此外，还有一个“秒杀”技巧：碰到e^x和\ln x共存的函数，直接套用放缩公式e^x\geq x+1、\ln x\leq x-1，快速估算最值范围，再代入特殊点验证，几十秒就能出答案，特别适合考试时间紧张的场景。
二、 多变量函数最值：消元为王，转化成单变量再攻坚
多变量函数最值题，题干里通常会出现x、y两个变量，还会附带一个约束条件，比如x+2y=1、xy=3。这类题的解题逻辑很简单：消元转化，把双变量问题变成单变量问题，再用第一类题型的方法求解。高考偏爱两种消元策略，针对性极强。
条件消元法，优先使用的黄金法则。这是高考最常考的消元方式，只要题干给出明确的约束条件，就用它。比如已知x+2y=1（x>0，y>0），求\frac{1}{x}+\frac{1}{y}的最小值，我们可以把约束条件变形为x=1-2y，再代入目标函数，函数就变成了只含y的单变量函数。这里有个关键细节：代换后一定要重新确定新变量的定义域，比如x>0、y>0的前提下，1-2y>0，就能得出y的取值范围是(0,\frac{1}{2})，极值点必须在这个范围内才有效。
换元消元法，对称结构的专属解法。如果题干里出现x+y、xy、x^2+y^2这类对称结构，条件消元法就显得繁琐了，此时换元消元法更高效。比如求x^2+y^2在x+y=4条件下的最小值，我们可以令t=x+y=4，那么x^2+y^2=t^2-2xy=16-2xy，再结合xy的取值范围，就能快速算出最值。这种方法的核心是“抓共性换元”，把对称结构打包成一个新变量，简化函数形式。
需要特别提醒的是，多变量函数绝对不能直接对两个变量同时求导！很多考生会犯这个错误，试图保留双变量求解，结果只会陷入思路混乱的死胡同。消元转化是唯一的出路，这是高考对这类题型的底层考察逻辑。
三、 专属避坑指南+提速技巧，效率正确率双提升
掌握了基础解题模板，还需要一些针对性的技巧来提速，同时规避高频丢分点，让解题效率和正确率双提升。
三大提速技巧，小题快做不拖沓
1. 临界值验证法：针对含参函数最值题，直接代入定义域端点、导数零点、参数的特殊值（比如0、1），对比函数值大小，快速锁定最值，无需完整分析单调性。
2. 放缩速估法：指对函数直接套用放缩公式，快速确定最值范围，再代入验证，节省大量计算时间。
3. 模板套用发：看到单变量指对函数就走“化简—求导—判单调”三步，看到多变量函数就先消元，形成肌肉记忆，解题速度自然提上来。
三大避坑要点，避开失分雷区
1. 定义域优先：所有操作都要在定义域内进行，极值点不在定义域内的话，直接舍弃。
2. 导数分步算：复杂函数求导时，分步运算，避免漏项、算错，这是考生最容易丢分的地方。
3. 多变量必消元：牢记双变量转单变量的核心思想，不要抱有侥幸心理尝试其他方法。
结语
高考函数最值问题，看似灵活多变，实则有迹可循。单变量函数抓导数，多变量函数抓消元，再配合提速技巧和避坑指南，这部分分值根本不算难题。
建议考生拿出近五年的高考真题，按照这两类模板逐一拆解练*，把解题步骤固化成*惯。当你看到题目就能立刻判断题型、选定方法时，就已经掌握了这类题的绝杀秘诀。
版权声明：本文转载于今日头条，版权归作者所有，如果侵权，请联系本站编辑删除