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本文是从图林新知识中复制的，[会议数学]已被转发和授权

伟大的发现将来会成为常识。

01

微积分的本质“微积分的基本定理”是微积分的重要知识。例如，这等同于珍贵的金枪鱼部分。高中教科书通常涉及这一方面，例如“差异和积分是逆操作”等。在此语句中确实没有错误。如果正确，那当然是正确的。

“差异和积分是逆操作”的说法太简洁了。这是什么意思？我真的希望每个人都能理解它的本质。您是否曾经以为圆圈和球相似？关于圆形和球体有以下陈述：（1）“圆形区域”的差异是“圆的圆周”； （2）“球体体积”的差异是“球的表面积”。这些陈述有点令人困惑。这是真的吗？ （1）半径为R的圆面积为

分化后R

这与半径为r的圆的圆周完全相同。 （2）半径r的球体积为

分化后R

这是半径为r的球体的表面积。

（1）假设半径为r的圆（圆板）的面积是R的函数：

根据我们的旧方法，现在我们想到“当圆的半径增加R时，该面积将增加多少”。请观察图95中的大圆圈。当圆的半径增加R时，它会在哪里增加？附加的部分是一个薄环。该环形区域可以大致表示为：

圆R的周长是区域增加（s）的部分

S圆R的周长

在这里，一个符号“大致相等”（）。因为外圈的周长略大于内圆的周长。尽管有必要使用大约等于数字，但它总是会使人们感到无聊。如果可能，请尽可能将其转换为相等的符号。因此，首先将方程式的两面除以R，因为

取R0

极限。这样，删除“合同”是

因此，“圆形区域”的差异=“圆形的周长”是正确的。

（2）我们使用与（1）相同的想法来考虑“球的体积”的差异=“球的表面积”。

半径为R的球体积为

就像一个圆圈一样，让我们考虑一下“当球的半径增加时，数量增加了多少”。

根据图96，体积增加的部分是球体外部皮肤的细部分。假设球是一个乒乓球，可以说添加的部分是赛璐oid（乒乓球本身）制成的部分。为了易于观察，图96中的球体增加了相对夸张的厚度。这个薄层的体积大致

球的表面积R

也就是说，增加体积的部分V是

就像圆的方法一样，将两侧除以R，然后取0r

限制，得到

同样，“圆的区域”的差异刚刚是“圆的圆周”，可以看出，“球的体积”的差异是正确的。

基于上述证据，尽管本节开头提到的（1）和（2）令人难以置信，但它们确实有效。

实际上，这种关系是“微积分的基本定理”。但这实际上从不同的角度解释了相同的内容。详细说明，以下内容如下。

首先，我们可以认为“圆形区域的差异性”最终将圆划分为薄的圆形（在使R的极限下趋向于0）。换句话说，粗略地说，分化是从圆形板上多个同心圆之间排列的细环中取出一个细环。另一方面，积分是积累极薄圆的面积以找到圆的面积（图97）。

环（1（r）R）的面积等于圆乘以R的圆周，所有环的累积面积是圆的面积。因此圆的面积等于

现在

已确立的。将方程式的两面除以2

其次，关于球的含量，通过积累“表面积R”来找到球的整体体积。所以

已确立的。将方程式的两面除以4

制作差分公式

替代获得积分公式

也就是说，“分割”成较小的部分的操作是不同的，而“累积”较小零件的操作是不可或缺的（图98）。

差分和积分就像硬币的前后，完全相反。

02

如何使用基本定理

如果您真正理解“微积分的基本定理”，您会觉得这件事并不复杂。但是，该定理的伟大是它具有广泛的应用。尽管看起来很普通，但非常实用。

例如，“权力函数的差分公式”是

我们使用它来推断“幂函数的积分公式”。

根据微积分的基本定理，可以看出，幂函数的差分公式的含义可以在图99中表达。

也就是说，功率函数的差分公式是指：

更改的值，您可以不断列出它：

依次将这些公式（或句子）除以3和4，您可以得到：

即使积分方程是无限编写的，它的含义也很简单。

换句话说，通常，在“索引增加1”之后，它写在分母的右上角和X的右上角，即

但是，必须注意一件事。

实际上，到目前为止，当我们使用“点”一词时，含义尚不清楚。例如，在功能函数中刚刚解释了差异

可以得到

但是，还有其他功能，它们的不同结果是

在这里，我们错过了差异化0的功能。这是问题所在。也就是说，如果

如果差异，结果将是

“与0区分开的函数”表示“没有更改的函数”，而这种函数称为“常数函数”。常数函数的斜率为0，即，对于任何X值函数，结果都是相同的。假设恒定函数的值为c，可以写为

如图100所示，常数函数的函数值没有更改。常数C可以为100，-50或10万亿。重要的是C“没有变化”，而不是值本身是大还是小。

这是功率函数的整体公式。

通过整合F（x）的差异获得的函数称为“ F（x）的原始函数”。写为f（x），也就是说

原始函数中总是有“不确定的值C（不确定项）”。在这里，“通过积分找到原始函数”，这称为无限积分。相反，如前所述，查找面积或体积的积分称为固定积分。不确定点与固定点不同。原则上，“从哪里到哪里到哪里”未写入。

额外的C就像是一种额外的装饰，使人们无法冷静下来，但您不必担心。因为计算区域和其他问题时，C将消失。

例如，如果图101中灰色部分的面积由确定的积分符号表示，则将其写入

这个确定的积分的价值是

这是一条直线y x=倾斜右上方45。 x=1和x=2之间的区域是什么（图102）？

由于灰色部分是梯形，因此您可以使用公式（底部+下底部）高度2来计算区域。图中的梯形向左倾斜，上底部的值是当x=1时y的值，y=x=1。底部也是如此，当x=2，y=x=2。高度为2 -1=1时，y的值也是如此

另一方面，使用积分公式可以获得

这与梯形面积公式计算的结果完全相同。

接下来，让我们看一下抛物线的例子。

图103是抛物线的部分图像。将面积从x=1到x=2计算。这次图形不再使用“梯形区域公式”，因此您只能使用积分。

应用积分公式获得

看，您可以立即得到答案。没有积分似乎很难计算。我不得不说这些要点真的很棒。

顺便说一下，当上一篇文章谈论圆的区域和球的表面积时，该公式出现

在这里，X仅由R取代，R是功率函数积分公式的特殊情况（分别为=1和=2）。

03

近似和忽略

演算的本质在于近似和忽视。大概意味着忽略某些东西，只给出粗略的答案。

甚至复杂的形状也可以被视为简单矩形（积分）的组合，并且函数也可以视为切线或抛物线（差异），而这种思维角度是计算的关键。

重要的是不要关心细节。如果您不在乎小零件，则可以弄清楚最大体积的冰淇淋蛋卷的形状是什么，也可以“将曲线视为圆锥线的组合”来计算链轴的长度。尽管总体计算很困难，但通过将其分成较小的部分而变得简单地积累。这是微积分的力量。

实际上，这个想法不仅限于微积分，因此可以说整个数学是这样的。微积分是了解该方法有效性的最佳材料。

实际上，在我们生活的现实世界中，可以说近似无处不在。例如，没有无限的小东西（不能比基本粒子小），而且宇宙并不是无限的。

但是，在实际的微积分中，应考虑无限量或无限的空间，这是一个近似值。忽略基本粒子的大小并放置宇宙的边界限制可能与事实相反，但是这种方法带来的恩惠是不可估量的。

差分积分的含量始于图的详细分割，然后讨论自然常数E，最后是链轴的长度。阅读本文后，您自然地认识到“近似和无知”的思维方法？如果是这样，那将是一个很大的进步。

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