美国留学

65年来数学问题的新突破！

林·温南（Lin Weinan），来自福丹大学（Fudan University）的王·古兴（Wang Guozhen）和来自UCLA的Xu Zhouli合作解决了Kervaire在126维空间中不变的问题。

这三位作者都来自北京大学数学学院。结果被作为北京大学成立126周年的礼物。现在，完整的论文终于被上传到了Arxiv。

他们这次所解决的是高维拓扑的核心问题之一，也称为“世界末日假设”：如果假设是伪造的，那么基于该假设的许多其他猜想将被推翻！

Kervaire不变性用于确定是否可以通过特定方法将歧管转换为球体。当可以准确地将歧管转换为球体时，不变性等于零。当它不能转换为球体时，不变的等于一个。

到1960年，数学家已经表明，在2、6、14和30的维度中存在Kervaire不变1的歧管。

您是否无法理解上一个问题的背景介绍都没关系。观察这四个数字，很容易发现它们似乎满足了2^n-2的法律。

数学家自然地认为，这种流形仍将存在于62、126、254之类的维度中，但是证据已经停止了62个维度，并且已经停滞了数十年而没有进步。

直到2009年，有人最终才证明当它大于或等于254个维度时，这种歧管才存在。在这一点上，126个维度成为所有问题的最后一个难题。

Lin Weinan，Wang Guozhen和Xu Zhouli证明了126维方法结合了计算机计算和理论见解，并被学术界评为“大项目”。

几十年来，数学家一直对一个问题感到好奇：

哪个尺寸具有扭曲的奇怪形状，因此即使有特殊的手段也无法将它们转换为球体。

用外行的话来说，每个附加维度都意味着创建新的运动方向，并且不同的维度具有自己的特征。

例如，在8和24（下图）中，数学家表明，这两个维度可以使球体特别紧密地排列。在其他维度中，球体的排列可能不是那么完美，甚至看起来有点“皱纹”，就像皱巴巴的纸球一样。

通过用扭曲的形状找出这些维度，数学家可以更好地了解不同维度中空间的特性和定律。

在林·温南（Lin Weinan）和其他研究的研究之前，数学家发现，这些扭曲的形状存在于第二，第六，第14、30和62个维度，除了第126个维度以外的其他情况被排除在外。

也就是说，唯一的不确定维度126现在最终被他们解决了。

但是，要弄清楚他们是如何解决这个问题的，我们必须回顾我们的前辈取得的一些进展。

相关研究可以追溯到1950年代，数学家约翰·米尔诺（John Milnor）在当前歧管研究中引入了一种常见方法——术语（手术）。

其中，歧管在数学中指的是复杂的形状，例如弯曲表面或具有较高尺寸的空间。

手术就像“增塑”这种形状。您需要先切断部分，然后沿切割边缘缝制新部分。这个过程必须非常小心，不要留下任何锋利的角或边缘，因为数学家希望新形状像完美的球形表面一样光滑。

即使涉及扭曲的形状，手术也必须符合歧管的“框架”，即放置歧管的位置。

例如，在下面的示例中，将“甜甜圈”（牙齿表面）变成一个球体需要切割——形状变化的过程——缝合——拓扑等效物。

最终结果是，尽管形状已经改变，但在拓扑上是等效的（基本结构和属性是相同的）。

使用手术方法，数学家提出了以下发现：

二维平面没有奇怪的球体。

在某些更高的维度中，手术可以将一些歧管变成普通球，而另一些则变成奇怪的球体。

还有一个特殊情况，可以通过手术将某些歧管转化为球体。

这里所谓的单数球是指具有与普通球（标准球）在一定维度中具有相同拓扑特性的球体，但具有不同的差分结构。差异结构涉及空间的局部光滑度，例如在正常球体上平滑的曲线在单一球体上可能不会平滑。

顺便说一句，约翰·米尔诺（John Milnor）因在七维空间中发现奇怪的球体而感到震惊，而他引入手术的原因是在不同方面探索奇怪的球体。

基于上述发现，后来的研究重点是第三个特殊情况——，某些歧管不能通过手术转化为球体。

就像以下特殊扭曲的二维形状一样：

为了进一步确定是否可以通过拓扑手术转化为球体，法国数学家米歇尔·克尔维尔（Michel Kervaire）在1960年正式提出了克尔维尔（Kervaire）不变。

它可以转换为一个球体，kervaire不变性为0；它不能转换为一个球体，kervaire不变性为1。

有了这个计算的价值，数学家争先恐后地确定不同维度流形的kervaire不变性。

在几年之内，他们证明了第二，第六，第14和30个维度的Kervaire不变的扭曲。

显然，这些维度有一个明显的规则：每个数字比2的功率小2。

1969年晚些时候，数学家威廉·布劳德（William Browder）证明了这一法律是唯一的kervaire不变性的地方。

沿着这个规则，人们自然会假设其他维度包括62、126、254等，并且有些人根据此假设提出了大量相关的猜想。

但是，由于该假设没有得到充分证明，因此随后的猜想总是“摇摇欲坠”，因此该假设也称为“世界末日假设”。

后来，出现了两个关键证据：

一个是，在1984年，数学家证明，在62个维度中确实存在扭曲的歧管。另一个是霍普金斯等人在2009年。事实证明，在254及以上的空间中不存在满足1的Kervaire不变的流形。

排除在外之后，唯一剩下的就是第126维空间。

仍然是上面提到的威廉·布劳德（William Browder），他发现了解决1969年第126个维度问题的关键线索：

ADAMS光谱序列126列中的特定点对于理解问题至关重要。

具体而言，这一点可以告诉我们，是否可以将126维歧管归类为具有0或1的Kervaire不变性的歧管。

以下是两种情况：

首先，如果这一点幸存在Adams光谱序列的“无限”页面（即最后一页）上，那么这意味着在126维空间中有两种歧管，即Kervaire不变性为0或Kervaire Infformiant是1。

其次，如果这一点无法在“无限”页面上生存，那么126维空间中只有一种歧管，即，具有0的kervaire不变性的歧管。

总而言之，对于第126列的特殊点，有105个不同的假设可能导致其在达到“无限”页面之前消失。

为了排除这些可能性，林·温南（Lin Weinan）和其他人合作。其中，林·温南（Lin Weinan）开发的计算机程序首先排除了101种可能性。

后来，又花了一年的时间继续排除最后四种可能性。

最终，他们证明了威廉·布劳德（William Browder）提出的特殊点确实能够生存到“无限”页面，即，第126个维度具有1个不变的kervaire歧视。

在研究团队的三位作者中，王·古兴（Wang Guozhen）和徐祖里（Xu Zhouli）是北京大学数学学院的本科和硕士学位（2004- 2011年）的同学，并且仍然是硕士学位的室友。

从北京大学数学研究所毕业后，王古祖（Wang Guozhen）去了麻省理工学院（MIT）学*博士学位。 2016年，他从博士后学位来到福丹大学上海数学中心，成为一名副教授。

祖里（Xu Zhouli）去芝加哥大学学*博士学位。毕业后，他在麻省理工学院，UCSD和UCLA任教。他目前是加州大学洛杉矶分校数学系的教授。

两者保持了合作关系，到目前为止，在四个主要数学期刊上共同发表了3篇论文。

林·温南（Lin Weinan）比他们年轻。 2011年，他来到北京大学数学学院学*本科学位，然后去芝加哥大学学*博士学位。徐祖里（Xu Zhouli）和林·温南（Lin Weinan）都在芝加哥大学获得了彼得·梅（Peter May）的指导。

2011年，徐祖里（Xu Zhouli）来到芝加哥大学（University of Chicago）时，他致力于研究歧管的计算问题。他的导师彼得·梅（Peter May）建议他研究126维的克尔维尔（Kervaire）不变问题，并将他介绍给西北大学教授马克·玛霍瓦尔德（Mark Mahowald）。

马克·玛霍瓦尔德（Mark Mahowald）在听到此消息后立即拒绝了该提案。他认为，126维问题“将是一个终生问题”，并指导徐Zhouli研究较低维度的相关问题。

仅仅两年后，马克·玛霍瓦尔德（Mark Mahowald）不幸于2013年去世，但徐祖里（Xu Zhouli）和其他人并没有停止研究126维的克尔维尔（Kervaire）不变问题。

十多年后，当问题解决时，这三位作者专门致力于Mahowald，以表达对这一代数拓扑主人的尊重。

纸张地址：https://arxiv.org/abs/2412.10879

参考链接：

[1] https://www.quantamagazine.org/dimension-126-contains-xtrangelly twists-twists-twist-twist-Mathematicians-prove-20250505/

[2] https://news.ycombinator.com/item id=43896199

[3] https://mp.weixin.qq.com/s/bhdfrdtpr-qh-kf4y3n11w

[4] https://pouiyter.github.io

[5] https://Waynelin92.github.io

[6] https://sites.google.com/view/xuzhouli

[7] https://www.ams.org/publications/journals/notices/201606/rnoti-p652.pdf

本文来自Wechat公共帐户“量子位”（ID：QBITAI），作者：Meng Chen Yishui，由36KR出版并授权。