空间向量×立体几何核心题型全解

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一、空间向量基础题型

1. 坐标运算（建系能力）

向量表示：已知点A(1,-2,3)、B(4,0,1) → →AB = (3,2,-2)共线证明：若→a=(2,3,1), →b=(-4,-6,-2)，则 →a = -0.5→b垂直判定：→a·→b = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

2. 平面方程构建

三点定面：
已知A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)
→ 法向量 →n = →AB × →AC = (-6,-3,-2)
→ 平面方程：-6(x-1)-3y-2z=0

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二、位置关系证明题（必考三大类）

题型	解题工具	关键步骤
线面平行	方向向量⊥法向量	→s·→n=0 且 线不在面上
面面垂直	法向量垂直	→n₁·→n₂=0
线线角	cosθ=	→a·→b

示例：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，证BD₁⊥面ACD₁

建系：设A(0,0,0), D(1,0,0), C(1,1,0), D₁(1,0,1)法向量→n=→AC×→AD=(1,1,0)×(1,0,0)=(0,0,-1)BD₁方向向量→s=(-1,1,1)∵ →s·→n=(-1)(0)+(1)(0)+(1)(-1)=-1≠0 ❌ 需调整

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三、角度与距离计算（高频压轴）

1. 二面角攻略

步骤：
① 求两平面法向量→n₁, →n₂
② cosθ=|→n₁·→n₂|/(|→n₁||→n₂|)
③ 锐角二面角取正值，钝角取负值（需看图判断）

2. 点到平面距离

公式：d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)例题：点P(2,1,-1)到平面x-2y+2z-3=0的距离
d=|1×2-2×1+2×(-1)-3|/√(1+4+4)=| -5 |/3=5/3

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四、空间轨迹与最值（难点突破）

1. 动点轨迹方程

设动点P(x,y,z)依条件列方程（如 |→PA|=|→PB|）化简：(x-1)²+(y+2)²+(z-3)²=(x-4)²+y²+(z-1)²
→ 6x-4y-4z+5=0（中垂面方程）

2. 最值问题

向量式转化：
求|→PA|+|→PB|最小 → 利用共线定理
|→PA-→PB|最大 → 三角形两边差小于第三边

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备考策略 ▶ 三步解法树

STEP1 几何体建系 → 标注所有点坐标 ↓ STEP2 向量工具选择： 平行/垂直 → 方向向量·法向量 角度 → 点积/叉积公式 距离 → 投影或公式法 ↓ STEP3 验证几何意义（避免纯代数失误）

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