更新时间：作者：小小条
一、教案基本信息
课题：高考数据分析专项突破 —— 图表解读、统计量计算与概率推断
适用学段：高三（复*课）
课时：1 课时（45 分钟）
核心素养目标：
a. 掌握高频统计图表（频率分布直方图、折线图、茎叶图、散点图）的解读技巧，能快速提取关键数据
b. 熟练计算核心统计量（均值、方差、中位数、众数），并优化运算方法
c. 能区分古典概型、条件概率的适用场景，掌握全概率公式、贝叶斯公式的应用条件，熟练掌握超几何分布、二项分布、正态分布的定义、性质及应用，精准构建概率模型
d. 形成 “数据提取 — 模型构建 — 计算验证 — 结论推断” 的数据分析思维链
二、教学重难点
重点
四大统计图表的解读逻辑与数据提取方法
统计量（均值、方差）的优化计算技巧
古典概型、条件概率的判定标准与计算步骤
全概率公式与贝叶斯公式的应用场景识别及计算流程
4. 超几何分布、二项分布、正态分布的定义、性质及应用场景匹配
难点
复杂图表（多组数据折线图、分层频率分布直方图）的信息整合
条件概率与独立事件的综合运算
全概率公式中样本空间的划分技巧（互斥完备事件组的构造）
贝叶斯公式的逆向推理逻辑构建
统计与概率的融合应用（如用统计数据推断概率、用概率解释统计结果）
6. 三种概率分布的模型辨析（尤其是超几何分布与二项分布的区别与联系）
7. 正态分布中3σ原则的应用误区
易错点
频率分布直方图中 “频率 = 组距 × 高度” 的公式误用（混淆高度与频率）
方差计算时忽略 “先平均再平方” 的顺序，或漏乘权重
古典概型中计数错误（重复或遗漏基本事件）
全概率公式应用时遗漏互斥完备事件组的部分事件
贝叶斯公式计算时分母（全概率）求解错误
混淆条件概率中 “P(A|B)” 与 “P(B|A)” 的含义
7. 超几何分布与二项分布的适用场景混淆（不放回抽样与有放回抽样）
8. 正态分布参数μ、σ的含义理解错误，3σ原则应用遗漏
三、教学准备
教具：高考真题图表课件、统计量计算对比表格、概率模型判定流程图（含全概率、贝叶斯公式及三种概率分布应用逻辑）
学具：数据分析笔记单、分层*题精练卷
四、教学过程
（一）情境导入：数据分析的高考 “话语权”（5 分钟）
真题呈现：展示 2024 新高考 Ⅰ 卷数据分析题（节选）：
某学校为了解学生的体育锻炼时间，随机抽取 100 名学生进行调查，得到其日均锻炼时间的频率分布直方图（略），则：（1）日均锻炼时间在 [60,80) 分钟的学生人数为______；（2）估计该校学生日均锻炼时间的中位数为______。
数据感知：高考数据分析类题目占比达 20%+，其中图表解读题占比超 60%，核心考查 “从图表中找数据、用数据算统计量、用统计量做推断” 的能力，而概率推断中全概率与贝叶斯公式常作为综合题核心考点出现。
引出主题：本节课通过 “图表解读技巧 — 统计量优化计算 — 概率模型构建（含全概率、贝叶斯公式及超几何、二项、正态分布）” 三大模块，破解数据分析的高考痛点，实现 “快准稳” 解题。
（二）核心内容讲解与归纳（25 分钟）
模块 1：统计图表解读 ——“看图说话，精准提取”
1. 四大高频图表解读逻辑
图表类型 | 核心功能 | 解读步骤 | 高考常见考点 | 易错点警示 |
频率分布直方图 | 展示数据分布规律 | ①看横轴（分组区间）、纵轴（频率 / 组距） ②算频率 = 组距 × 纵轴高度 ③算频数 = 总样本数 × 频率 ④估中位数 / 均值（面积平分法 / 加权平均） | 频数计算、中位数估计、均值计算 | 误将纵轴高度当频率；中位数计算时忽略 “面积平分” 原则 |
茎叶图 | 展示原始数据，便于对比 | ①左茎右叶（茎为高位，叶为低位） ②提取数据并排序 ③计算统计量（中位数、极差） | 中位数 / 众数求解、数据对比分析 | 数据排序错误；忽略茎叶图的 “位数对齐”（如茎为十位，叶为个位） |
折线图 / 柱状图 | 展示数据变化趋势 / 分类对比 | ①看横轴（分类 / 时间）、纵轴（数值） ②提取关键节点数据（最大值、最小值、交点） ③分析变化趋势（递增 / 递减 / 波动） | 数据读取、趋势推断、交叉点计算 | 数据读取时混淆横轴与纵轴；趋势推断时过度外延（超出数据范围） |
散点图 | 展示变量相关性 | ①看点的分布趋势（正相关 / 负相关 / 无相关） ②判断线性相关强度（点越集中，相关性越强） ③拟合回归直线 | 相关性判断、回归方程应用 | 误将 “正相关” 当 “因果关系”；回归直线拟合时忽略 “最小二乘法” 本质 |
2. 典例精讲（频率分布直方图）
例 1（2023 新课标 Ⅱ 卷改编）：某地区为了解用电量情况，随机抽取 100 户居民，得到日均用电量（单位：度）的频率分布直方图如下（组距为 2）：
• 横轴分组：[0,2)、[2,4)、[4,6)、[6,8)、[8,10]
• 纵轴高度：0.05、0.15、0.20、0.10、0.05
求：（1）日均用电量在 [4,6) 的频数；（2）估计日均用电量的中位数。
讲解步骤：
明确公式：频率 = 组距 × 高度，频数 = 100× 频率；
（1）[4,6) 的频率 = 2×0.20=0.4，频数 = 100×0.4=40；
（2）中位数计算：先算前两组面积（频率）：0.05×2+0.15×2=0.4 前三组面积 = 0.4+0.4=0.8>0.5，故中位数在 [4,6) 内；
设中位数为x，则0.4 + (x-4)×0.20=0.5，解得x=4.5（度）。
模块 2：统计量计算 ——“优化方法，精准高效”
1. 核心统计量及优化计算技巧
统计量 | 定义与公式 | 优化计算方法 | 适用场景 |
算术均值：加权均值： (为权重） | ① 整体代换：若 ② 分组简化：频率分布直方图中用 “组中值 × 频率” 求和 | 所有数据的平均水平描述 | |
方差（\(s^2\)） | ① 公式变形：（避免重复减均值） ② 整体代换：（平移不改变方差） | 数据的离散程度描述 | |
中位数 | 排序后中间位置的数（奇数个数据）或中间两数平均（偶数个数据） | ① 茎叶图中直接排序提取 ② 频率分布直方图中用 “面积平分法” | 不受极端值影响的集中趋势描述 |
众数 | 出现次数最多的数据 | ① 茎叶图中找出现次数最多的叶 ② 频率分布直方图中找 “最高矩形的组中值” | 数据中最常见的数值描述 |
2. 典例精讲（方差优化计算）
例 2：已知一组数据，求其方差。
常规解法：先算
优化解法：用公式变形，，，故（减少多次减法运算，提升效率）。
模块 3：概率推断 ——“模型匹配，精准计算”
1. 核心概率模型判定与计算（含全概率、贝叶斯公式）
概率模型 | 核心特征 | 判定标准 | 计算步骤/公式 | 高考常见载体 |
古典概型 | ① 有限个基本事件 ② 每个基本事件等可能 |
| ||
事件结果可枚举，且机会均等 | ||||
① 列举所有基本事件（或用排列组合计数） ② 计算事件 A 包含的基本事件数 ③ | 摸球、掷骰子、抽样（不放回） | |||
条件概率 | 事件 B 发生的前提下，事件 A 发生的概率 | 题目中出现 “在… 条件下”“已知… 发生” | ① 用公式： ② 缩小样本空间：直接计算 “B 发生时 A 的概率” | 不放回抽样、连续试验、事件关联分析 |
全概率公式 | 复杂事件 B 的概率可分解为多个互斥前提事件下的条件概率之和 | 存在一组两两互斥且完全覆盖样本空间的事件（互斥完备事件组），需通过前提事件计算复杂事件概率 | ① 构造互斥完备事件组 | 多渠道抽样、产品质量检测、风险评估 |
贝叶斯公式 | 已知事件 B 发生，反推各前提事件\(A_i\)发生的概率（逆向推理） | 题目中出现 “已知结果求原因”，如 “检测阳性后求实际患病概率” | ① 先用全概率公式计算P(B)② 代入公式： | 疾病检测、故障诊断、信息筛选 |
超几何分布 | ① 不放回抽样 ② 总体分为两类（正品/次品、红球/白球等） ③ 关注抽取n件中含k件某类元素的概率 | 明确总体容量N、某类元素个数M、抽取容量n，且为不放回抽样 | ① 记X为抽取n件中某类元素的个数，则~② 概率公式： ③ 期望：， | 不放回摸球、产品不放回抽检、分层抽样中的概率计算 |
二项分布 | ① n次独立重复试验 ② 每次试验只有两个结果（成功/失败） ③ 每次试验成功概率均为p | 题目中出现 “n次独立重复试验”“每次成功概率为p”，或为有放回抽样 | ① 记X为n次试验中成功的次数，则X~B(n,p) ② 概率公式：(k=0,1,...,n） ③ | 有放回摸球、投篮命中、产品有放回抽检、独立重复试验概率计算 |
正态分布 | ① 连续型随机变量 ② 分布曲线呈钟形，关于x=μ对称 ③ 概率集中在μ附近，由参数μ（均值）和σ（标准差）决定 | 题目明确说明“服从正态分布N(μ,σ²)”，或数据分布呈对称钟形 | ① 记X~N(μ,σ²)，则（标准化） ② 3σ原则：，③ 概率计算：（Φ为标准正态分布累积分布函数） | 产品尺寸、考试成绩、测量误差等连续型数据的概率计算 |
2. 典例精讲（概率模型综合应用）
例 3（条件概率）：从装有 2 个红球和 3 个白球的袋子中不放回摸球，已知第一次摸到白球，求第二次摸到红球的概率。
解法 1（公式法）：设A=“第二次摸到红球”，B=“第一次摸到白球”，则，，故。
解法 2（缩小样本空间）：第一次摸到白球后，袋子中剩 2 红 2 白，共 4 个球，故第二次摸到红球的概率为（简化运算，避免复杂公式）。
例 4（全概率公式）：某工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同一种产品，产量占比分别为 30%、50%、20%，三条生产线的次品率分别为 0.02、0.01、0.03。现从该厂生产的产品中随机抽取一件，求抽到次品的概率。
讲解步骤：
构造互斥完备事件组：设“抽到丙生产线产品”，B=“抽到次品”。
明确已知条件：。
代入全概率公式：=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.03=0.006+0.005+0.006=0.017。
例 5（贝叶斯公式）：承接例 4，若随机抽取的一件产品是次品，求该次品来自甲生产线的概率。
讲解步骤：
明确所求事件：（已知抽到次品，求来自甲生产线的概率）。
由例 4 已得P(B)=0.017，。
代入贝叶斯公式：。
例 6（超几何分布）：某批产品共10件，其中3件次品，7件正品。现从中不放回抽取4件，求抽到2件次品的概率及抽取次品数的期望。
讲解步骤：
判定模型：总体N=10，次品数M=3，抽取n=4，不放回抽样，故抽取次品数X~H(10,3,4)。
计算概率：根据超几何分布概率公式，。
计算期望：。
例 7（二项分布）：某运动员投篮命中率为0.6，现进行5次独立重复投篮，求投中3次的概率及投中次数的期望与方差。
讲解步骤：
判定模型：5次独立重复试验，每次成功（投中）概率p=0.6，故投中次数X~B(5,0.6)。
计算概率：。
计算期望与方差：。
例 8（正态分布）：某地区高三学生数学成绩服从正态分布N(100,16)，求该地区高三学生数学成绩在[92,108]内的概率。
讲解步骤：
明确参数：由X~N(100,16)可知，μ=100，σ=4（σ²=16）。
转化区间：[92,108] = [100-2×4, 100+2×4] = [μ-2σ, μ+2σ]。
应用3σ原则：，故该地区高三学生数学成绩在[92,108]内的概率约为0.9545。
3. 方法归纳表格（师生共同填写）
核心模块 | 操作口诀 | 高考优先级 | 避坑技巧 |
图表解读 | 先看轴，再看量，算频率，估统计 | 最高（必考题） | 标注关键数据，避免 “视觉误差” |
统计量计算 | 先平均，再平方，用变形，省步骤 | 高（基础题） | 方差计算先算平方和，再代公式 |
概率推断 | 概率推断 古典概型先枚举，条件概率缩空间；全概分组找前提，贝叶斯逆向推原因；超几何不放回，二项独立重复；正态对称看μσ，3σ原则记心间 高（综合题） 全概确保事件互斥完备，贝叶斯牢记分母为全概；超几何与二项看抽样（放回/不放回），正态分布先找μ和σ | 高（综合题） | 全概确保事件互斥完备，贝叶斯牢记分母为全概 |
（三）分层*题精练（10 分钟）
1. 单项选择题（每题 4 分，共 16 分）
（图表解读）某班 60 名学生的数学成绩频率分布直方图中，[80,90) 组的纵轴高度为 0.025，组距为 10，则该组的学生人数为（ ）
A. 15 B. 12 C. 10 D. 8
（统计量计算）已知一组数据1，2，3，4，a的均值为 3，则其方差为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（古典概型）从 1，2，3，4，5 中随机抽取 2 个不同的数，则两数之和为偶数的概率为（ ）
（全概率公式）甲、乙两台机床生产同种零件，甲机床产量占 60%，次品率为 5%；乙机床产量占 40%，次品率为 10%。从生产的零件中随机抽取一件，抽到次品的概率为（ ）
A. 0.07 B. 0.08 C. 0.09 D. 0.10
5. （超几何分布）从含有5件次品的20件产品中不放回抽取4件，设抽到的次品数为X，则P(X=2)=（ ）
6. （二项分布）某射手每次射击命中目标的概率为0.8，进行10次独立射击，命中次数X~B(10,0.8)，则E(X)=（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 10
2. 多项选择题（每题 5 分，共 10 分）
（正态分布 + 统计量）某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(50,4)，则下列说法正确的有（ ）
A. 均值为 50，方差为 4 B. 尺寸在 [48,52] 内的概率约为 68.27% C. 尺寸大于 50 的概率为 0.5 D. 尺寸在 [46,54] 内的概率约为 95.45%
（概率模型判定）下列关于概率模型的说法正确的有（ ）
A. 随机投掷一枚均匀的硬币，观察正反面，属于古典概型
B. 已知第一次摸到红球，求第二次摸到白球的概率，属于条件概率
C. 计算多台设备生产产品的次品率，可采用全概率公式
D. 有放回摸球试验中，摸到红球的次数服从超几何分布
E. 考试成绩服从正态分布，可利用3σ原则估计成绩分布范围
3. 填空题（每题 5 分，共 10 分）
（茎叶图 + 中位数）某班 10 名学生的数学成绩茎叶图如下：
则这组数据的中位数为______。
（贝叶斯公式）某疾病的患病率为 0.01，检测准确率为 99%（患病者检测阳性的概率为 0.99，未患病者检测阴性的概率为 0.99）。现某人检测结果为阳性，则其实际患病的概率为______（结果保留两位小数）。
3. （正态分布）已知随机变量X~N(80,σ²)，P(X≤70)=0.2，则P(70≤X≤90)=______。
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