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高中函数的基本性质是分析函数图像和解决函数问题的核心，主要包括单调性、奇偶性、周期性和最值四大类，它们从不同维度描述了函数的特征。

一、单调性（增减性）：描述函数的 “上升” 与 “下降”

单调性反映函数值随自变量变化的趋势，是研究函数最值和比较大小的关键。

1. 定义（以增函数为例，减函数反之）

设函数\(f(x)\)的定义域为I，区间\(D \subseteq I\)：

若对任意\(x_1, x_2 \in D\)，当\(x_1 < x_2\)时，都有\(f(x_1) < f(x_2)\)，则称\(f(x)\)在区间D上是增函数。若对任意\(x_1, x_2 \in D\)，当\(x_1 < x_2\)时，都有\(f(x_1) > f(x_2)\)，则称\(f(x)\)在区间D上是减函数。

2. 判断方法

定义法：取值（\(x_1 < x_2\)）→ 作差（\(f(x_1) - f(x_2)\)）→ 变形（因式分解、配方等）→ 判断符号→ 下结论。图像法：在区间D上，若函数图像从左到右上升，则为增函数；若下降，则为减函数。导数法（适用于高中后期）：若\(f'(x) > 0\)，则\(f(x)\)为增函数；若\(f'(x) < 0\)，则为减函数。

3. 运算性质

增函数 + 增函数 = 增函数；减函数 + 减函数 = 减函数。增函数 - 减函数 = 增函数；减函数 - 增函数 = 减函数。

二、奇偶性：描述函数的 “对称性”（关于原点或 y 轴）

奇偶性反映函数图像的对称特征，仅针对定义域关于原点对称的函数。

1. 定义

设函数\(f(x)\)的定义域为D，且D关于原点对称：

若对任意\(x \in D\)，都有\(f(-x) = f(x)\)，则称\(f(x)\)为偶函数，图像关于y轴对称。若对任意\(x \in D\)，都有\(f(-x) = -f(x)\)，则称\(f(x)\)为奇函数，图像关于原点对称。

2. 判断步骤

先看定义域：若定义域不关于原点对称（如\(x > 0\)），则函数既不是奇函数也不是偶函数。再看\(f(-x)\)与\(f(x)\)的关系：计算\(f(-x)\)，对比其与\(f(x)\)或\(-f(x)\)是否相等。

3. 常见性质

奇函数在\(x = 0\)处有定义时，\(f(0) = 0\)（可用于快速求值或判断）。偶函数的解析式满足\(f(x) = f(|x|)\)（可用于去掉绝对值符号，简化计算）。奇函数 × 奇函数 = 偶函数；偶函数 × 偶函数 = 偶函数；奇函数 × 偶函数 = 奇函数。

三、周期性：描述函数的 “重复出现”

周期性反映函数值随自变量周期性变化的特征，常见于三角函数（如\(\sin x\)、\(\cos x\)）。

1. 定义

设函数\(f(x)\)的定义域为D，若存在非零常数T，对任意\(x \in D\)，都有\(x + T \in D\)且\(f(x + T) = f(x)\)，则称\(f(x)\)为周期函数，T为其一个周期。

最小正周期：所有周期中最小的正数（若存在），如\(\sin x\)的最小正周期为\(2\pi\)。

2. 常见周期结论（若\(f(x)\)是周期函数）

若\(f(x + T) = f(x)\)，则周期为T；若\(f(x + a) = f(x + b)\)（\(a \neq b\)），则周期为\(|a - b|\)；若\(f(x + a) = -f(x)\)，则周期为2a。

四、最值：描述函数的 “最大值” 与 “最小值”

最值是函数在特定区间内的 “极端值”，需结合定义域和单调性、奇偶性等性质求解。

1. 定义

设函数\(f(x)\)的定义域为I，存在\(x_0 \in I\)：

若对任意\(x \in I\)，都有\(f(x) \leq f(x_0)\)，则\(f(x_0)\)为\(f(x)\)的最大值。若对任意\(x \in I\)，都有\(f(x) \geq f(x_0)\)，则\(f(x_0)\)为\(f(x)\)的最小值。

2. 求解方法

单调性法：若函数在区间\([a, b]\)上单调递增，则最大值为\(f(b)\)，最小值为\(f(a)\)；若单调递减，则反之。图像法：观察函数图像，最高点的纵坐标为最大值，最低点的纵坐标为最小值。导数法（适用于高中后期）：求导找到极值点，再对比极值点和区间端点的函数值，确定最值。

五、常见易错点总结

单调性忽略 “区间”：描述单调性时必须指明区间，如 “\(f(x) = \frac{1}{x}\)是减函数” 错误，正确表述为 “\(f(x) = \frac{1}{x}\)在\((-\infty, 0)\)和\((0, +\infty)\)上分别是减函数”。奇偶性忽略 “定义域对称”：直接判断\(f(-x)\)与\(f(x)\)的关系，忽略定义域是否关于原点对称，导致结论错误。周期性混淆 “周期” 与 “最小正周期”：认为周期一定是最小正周期，如\(\sin x\)的周期可以是\(2\pi, 4\pi\)等，\(2\pi\)是最小正周期。

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