更新时间：作者：小小条
微积分就是极限：积分是和的极限，微分是差的极限，导数是商的极限。整个微积分理论，都是因为极限概念，才成立的。
可是极限到底是什么呢？我们来看一个例子。对于函数f(x)=1/x来说，如果我们规定x只取正实数，会怎样？比如当x=1时，f(x)=1/x=1；当x=10时，f(x)=1/x=1/10；当x=100时，f(x)=1/x=1/100；以此类推，当x=1亿时，f(x)=1/x=1/1亿。
1/1亿已经非常小，非常靠近0了，可是1亿远远不是最大的数啊，还有10亿，乃至接近无穷大，根本取不尽。可是有一点是明确的，那就是当我们取值越来越大时，函数值越来越靠近0，靠近到什么程度呢？这就取决于我们取多大的x值了。
如果我们取一个值，这个值无限靠近无穷大，以至于无论你给出任何一个数，我取的数都可以比你给出的数大，会怎样？这时我们就预测函数f(x)=1/x的取值也会无限靠近0，靠近到无论你取多小的值，这个值都可以比那个值更靠近0。于是，0就被称为是在极限过程x趋于无穷大时，函数f(x)=1/x的极限。
注意，这里存在两个事实。第一个事实是，我把“到底自变量有多靠近无穷大”，以及“到底函数值有多靠近0”这个棘手的问题，甩给了可能提出质疑的人：你问有多靠近？你要有多靠近就有多靠近！第二个事实是，自变量x无限靠近无穷大，函数值无限靠近0，但并没有说x已经等于无穷大，更没有说函数值f(x)已经等于0。
所以微积分的根本概念——极限，并不是函数的取值，而是一个与函数密切相关的量，就像你娶一个媳妇，那媳妇跟你密切相关，但她并不是你的财产，她只是跟你很亲密，亲密到从合法的两性关系说，比任何人跟你都亲密，但终究你们还是两个独立的个体。
极限是函数永远在奔赴的，与函数最亲密的伴侣。这就是极限与函数的关系。
可是文字描述还是难免不准确，用严格的集合论语言，怎么描述函数的关系呢？这也不难。我们发现f(x)=1/x作为一个函数，一个对应法则，是把集合{x|x∈正实数}中的元素，转化成集合{1/x|x∈正实数}中的元素。我们知道在集合{1/x|x∈正实数} 中，是永远取不到0的。
极限做了什么事呢？极限构造出了一个集合{0}，这个集合的元素不但取到了0，而且只有0！所以极限也是某种对应法则，它必定是把某个集合中的元素转化成了{0}中的元素。可是它转化了哪个集合中的元素呢？表面上看，除了{1/x|x∈正实数}还有谁！而元素f(x)=1/x。
但这不够准确，因为f(x)本质上是函数f=1/x的取值，不是函数f，用函数值f(x)来表示函数，正如用函数1/x来表示函数值一样，只是出于方便。所以严格说，极限这种对应法则，是把函数f的集合{f| f(x)=1/x, x∈正实数}中的元素，转化成了{0}中的元素。
也就是说，极限是从集合{f}到{0}的映射，把作为对应法则的元素f，转化成了作为极限值的0。这样，我们把0称为是函数f的极限（值），就毫无逻辑障碍了。
那么从函数集合到极限值集合的函数，是什么函数呢？简单来说，就是泛函，是泛函分析研究的众多泛函中的一个。具体说，当极限值是实数（比如这里的0），我们就把这种函数叫泛函；当极限值是函数（比如g(x)），我们就把这种函数叫算子。
不过你把它叫做泛函还是算子，关系都不大，因为实数也可以视为常数函数，比如可以令g(x)=0。算子本来就是广义的泛函，泛函本来就是狭义的算子。
所以到此为止，我们明确知道了，极限不是函数f的值，而是一种把函数转变成极限值的函数——泛函。
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