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（虚构闲聊，如有雷同，纯属巧合）

常言道，万事开头难，又道，行百里者半九十，都什么意思呢？有种解释，说不管干什么，从零到一是最难的。零是无，一是有，无是无，有是有，从无到有，的确很难。那么，九十相当于一百的一半，怎么回事？

数学上，最简单的数，似乎是一。一无所知，只知其一，不知其二，常被用来贬斥无知。别说，哪怕最简单的一，或1，真要理解了，也不简单，因为那意味着认识从感性上升到了理性。

人类最早面对的实际情形，是先有多，也就是，在人产生之前，自然界已经存在着无数事物。同时，每一事物又自成一体。人们把各物放到一起，然后，给不同的组合物起数字名。传说的结绳记事，也应包括记数。一个物体对应1，两个物体对应2，依此类推，有了自然数。如此倒也符合“实践出真知”。其实，即使是现在的个人，自小到大，最先接触的，也是多种多样的事物，而不是抽象的一。

以不同物体及其组合来命名自然数，各自然数几乎同时产生，一是一，二是二，彼此独立，互不相干，各有各的用处。传言，有人说自己学数，是从掰手指头开始的。每个人一出生，手就有十指，不是先有一指，后有二指，然后长出十指。这话不由得人不信。

但一和二真的不相关吗？流传已久的“一生二”，到底是怎么回事？

不能尽数的无穷多，不妨用放倒的零0，一个扁圆，ㅇ，来表示，适当情况下，以其代替省略号……，以及与无穷大符号∞区别。与之相对，最少的自然数，是1或0。无穷多ㅇ，与无穷大∞和无穷小o，在描写上，能区别开了。

自然数的多和一，是很早被人们认识到的一对矛盾。“道法自然”，“道生一”，“一元复始，万象更新”，“吾之道，一以贯之”。

看得出，尽管最初人们面对的是多样事物，思想上，还是认为一与二是不等的，先有一，后有二。类似思想很多，如，“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于垒土”，“不积小流，无以成江海”，“不积跬步，无以至千里”等。更有甚者，有种观点，认为地球上先有一个男人，这个男人分出一个女人，二人组成一个家庭，然后繁衍出全人类。

如果认为自然数从1开始，那么，随之必有2从何来，及与1的关系问题。

“一生二”，看似简单，也不简单。

如果一生二指的是一分为二，那么原有的一被分后不在了，化为包含了两个一的二。如果原有的一不能分，保持着原来一的完整性，那么一生二实是先一生一，然后，新一与原一，合称为二，即，一生一而合为二。其中，新生的一，再次一生一，与原有的二合为三，“二生三”，也可说是第一、第二和第三依次产生，好像三代单传一样。

很多时候，还有一种外在理解“一生二”，即，原一保持完好而直接生出新二，这样，一与新生的二合而为三，三因为有二成其为三，也就是一生二而出现总和三，一生二直接完成了二生三。好像二胎是双胞胎，二层就达成了总数三。或者，一直接衍生出二，二中之一再生出二，合而为三，好像树枝分叉。当然也可有其它更多想法，如一生二后，一不在了，二中之一又生了一，二与一合为三，二生三。

显然，这类数字生成法，细究之下太麻烦，远不如直接给自然物命名记忆省事，虽然死记硬背也劳神费脑。

再者，一以贯之的道，总能遇到“一阴一阳之谓道”，它们哪个是真道?

先不管怎么由多到一的。由1到2再到多，可有两类。

一类，内在自我分裂式，一分为二，总量不变，分量变小，原有的大1被取代为两个独立个体的小1，小1的量相当于原来大1的1/2，但个体数比原来多1。总量不变，仅仅是分出的独立数量变多。然后，不断地分裂，次数越来越多，分量个数也越来越多，无穷多，单个分量本身却越来越小，形成无穷小趋势。这时，无穷多与无穷小相关，与无穷大无关。

一个休闲小问题，就是1和2哪个大?一生二，应该1大，总不能小的生大的，可是，2=1+1，两个大于一个，应该是2大。

一类，外在堆叠式，又分两种:

一种，新来一个1加在原有1上，与原来的1组成一体，总量变为2，再加1，总量变为3，然后，不断加1，出现4、5、6等，总量随不断加1变多，直至无穷多。此种变化，前量包含在后量里，如果前量消失，后量也不能存在。此种情况下，总量等于次数，无穷多即无穷大。好比厨师做了一摞大饼，一张又一张，共做了十张，拿走第一张，第十张立马不存在了，余下最多只有第九张，总份数也只有九张。更多人喜欢用吃来比喻，如，人吃饭，不吃第一口，不会有第二口，不能因为最后一口吃饱了，就不承认前面几口的作用。

另一种，原有1还在，另有外来双倍的1，即2出现，1和2互不相干地并列，总量实际变成3。然后，不断依次出现比前一数字多1的单独数字，如3，4等，序列中各数虽有排序增加，又彼此不受影响。好比一排物体堆，每堆数量依次比自己前一堆多一，前面一堆拿掉，后面一堆还在。相当于每个数都是另起炉灶，而后比前一数多1。此种情况下，无穷多产生无穷大数，各分量不随次数增多而变小。无穷多与无穷大相关，与无穷小无关。此种情况下，计算总量方法是把各个单独数相加，S=1+2+3……，比如，问自然数由1加到100，总数多少？用的就是这种加法计算。

1无论分还是合，都要产生2。

运算规则的建立。

为什么1+1=2，而不是1+1=11?即，两个1在一起，怎么就成了2，而不是11?即便举出二进制，也是1+1=10，依然不是11。类似问题还有，为什么1+1=2≠3?

对于这样问题，不少人不以为然，认为这只是人为硬性规定，好比地名一样，记住就是了。

其实，这是一种根据数字外形表面现象发出的疑问。在别的表示法里，对于1+1=2，可以比较直观地描述为Ⅰ+Ⅰ=Ⅱ。两种表达式，Ⅰ=1，Ⅱ=2，外形不同，实质一样。比较Ⅱ和2，表面看上去，Ⅱ能看出其组成是两个Ⅰ，2看不出来两个1，与1差别很大。这两种表达显示出，1+1得到的结果有两种，一种，保持着相加双方的原样，二者只是外在地堆放在一起，不发生不可分的关系；另一种，则揭示发生新变化，出现与1一样独立完整，包含了两个1的新数2，同时，这个2里面包含的1也有所不同，是一个整体里的1，不再是互不相干的单个1。以至于不能从2的外形看出其包含着两个1了。2有了新的可分与不可分关系。

1+1=2和Ⅰ+Ⅰ=Ⅱ，两个不同算术表达式，内容实质相同时，也可用其它不同语言文字表达，如，汉语，一加一等于二，显然，日常语言写起来比前二者都麻烦。同理，Ⅰ+Ⅰ=Ⅱ，虽然比较直观，可不利于更多的数字计算，比如，描述10这个数，总不能再依次画十根竖道道。发明者也意识到这一点，其后以V表示5，也就是，在5时，画竖变成画俩连着的等斜杠，类似于对号✓，大V，相应地，Ⅳ是4，Ⅵ是6。

2来自于1，又不同于1，与1一样有了独立完整性。也就是，2不单纯是两个1不相关地堆在一起，而是可以做为一个完整组合单位存在。1+1=2，相较于Ⅰ+Ⅰ=Ⅱ，更倾向于表达这种不同变化，且简洁。

在2的基础上，继续+1，有2+1=?按另一种表达方式，会有Ⅱ+Ⅰ=Ⅲ，这种表达传递的信息是三个1凑到一起，一眼就能看出来。

同样，用阿拉伯数字表示，也不能是2+1=21，再发明出3来和Ⅲ一样表示比2多1的下一位数，于是有，2+1=3。现在，3=2+1，也可以是3=1+1+1。因此，1+1=2≠3。

类似地，继续有4=1+1+1+1=3+1=2+2=2+1+1。

5=1+1+1+1+1=4+1=3+2=3+1+1+1=2+2+1=2+1+1+1。

……。

依此类推，自然数无穷多。

自然数都来自于1的累加，与1有可分与不可分矛盾一样，其它自然数也有自己的可分与不可分矛盾。与相加相反，可以逆向分出与各序数数量相当的1，由加1转为减1，使所有自然数归0，即，各自然数不断减1，最后可回归0，0，0，……。其实，若都余1，即1，1，1……，也是一样的。自然数的减是相对的，没有加，也就没有减。

为什么1、3等不能被2整除，而2、4等可以?

自1开始，可分与不可分矛盾贯穿所有数。1不可分，否则不会有其它自然数和无穷多；1无限可分，否则，不可能有微积分。

不可分，有不可被大数分和不可被小数分两种。可分，有均分与非均分，均分又有整分与非整分。整分是均分，均分不一定是整分。均分，即平分，等分，平均分。

分的对立面是合。可分，反面是可合。1在自然数里不可分，却可合，不断累加，生成无穷多自然数。

可分，产生分数和小数。可合，得到和与倍数，累加得到的数为和，乘相产生倍数。相同数相乘，得到乘方数。乘方逆运算，求得相等开方数。所有自然数都是1的和数与倍数，1如同几何里的点，集各种矛盾于一身。

既然设定1不可再分，是其它自然数的原子数，当然也不能被其它任何自然数整除。

2只能被1和自身整除。

从零开始，一次加1，1小于2，不能被2分，二次加1，凑出一个2，能被2均分。三次加1，相当于重新开始再加1，又不能均分，再加1再得到一个2，又能均分。

3能被1和自身整除，为什么不能被2整除?

从3这个字符表面来看，看不出和2有什么关系，其实，不管3还是4，连同其它所有自然数，都是和数，即是1连加得到的数，3不过是这样集合量之一的表达，把3拆分，会得到3=1+1+1=2+1，因为2=1+1，3里面包含一个2和一个1，2能被2整除，1不能被2整除，3也就不能被2整除。算术式表达就是，3/2=（2+1）/2=1+1/2。整除，就是可以连续减去相同的除数，最后无剩余，也就是最后不会剩余一个小于除数的数。3－2=1，余1。同样，4=2+2，4－2－2=0，能被2整除。0在这里表示没有数的意思，剩余0也是没剩余。

为什么1不能被2整分，却可以被2均分?为什么1既不能被3整分，也不能被3均分?

整分，被分数要大于分数，即分子大于分母。偶数，既能被2整分，也能被2均分。

可分与不可分。次数与个数。次数有完整性，一个循环周期为一次。没有完成的，算一次没完成的，如所谓0.5次，仍可计为未完成次数1。行百里者半九十，虽不能算完成次数，但可算未完成次数，功败垂成，和只走一半没区别，都算不成功的一次。

次数有先后，序数。

为什么要规定自然数最多只能分到1，不能再分?

有些事物一分就发生质变，一分为二之后，某物不再是某物。规定1不可分，是保证数还是自然数，如果可分，数也出现质变，量变里的质变，自然数变成分数和小数，不再是特定的量，即不再是自然数了。可分来自于可合，减法来自于加法。加时是完整相加的，为了保持一致，减时也要完整相减。最顽固的加法，是时间的加法。时间只能加，不能减。哪怕返老还童，也不过是随着时间增加，事物发生反向式变化而已。

代数的字母是不是数?

自然数的运算，如1+1，1+2，2+3等，都有加数和被加数，用字母代表加数和被加数，这种同一类型的加法，可以统一表示为a+b。当然，也可以用m+n等表示。这里的每一个字母可代表无数的数，用任意所代表的具体数替换，关系都仍成立。

若两个自然数相除的结果仍是自然数，设a、b、c都是自然数，有a/b=c，则称a可被b正整除。例如，6/3=2，6可被3正整除。

自然数、反向自然数和零合称整数，若a、b、c都是整数，a/b=c，也称a可被b整除。

若a/b=C，C不能是整数，出现小数，则称a不可被b整除。这种不可整除约分简化后，也可不必尽除，而保留为分数形式。例如，2/6=1/3=0.333……。

由例子插入一个颇具争议的问题:1/3到底等不等于0.333……?

1/3=?本来，1是不可分的，现在却必须分，又不像1/2=0.5那样能均分。

分的结果，既相等，又不相等。其中，倾向于相等，可以记为1/3=≠0.333……，倾向于不等，记为1/3≠=0.333……。

不同情况下，为了方便，可再简化，1/3=≠0.333……，直接表示为1/3=0.333……。或者在=上加一个点，表示这种相等又不等的关系。

1/3≠=0.333……，其中≠=以约等于≈代替，于是有，1/3≈0.333……，不等而又相等，大约相等，却也不等，倾向于二者不等。

除法来自于均分，数量有可均分和不可均分之别，不能绝对均分，出现有限无限、等与不等的矛盾。

结果为正的整除，指的自然数范围之内的整分。自然数之外的整分，是在整数范围内的均分。整数范围之外，有均分小数和非均分小数。均分小数小数点后面位数有限。非均分的小数，有无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数又叫无理数。整数和小数合称实数。带有方向i的实数，叫虚数。实数和虚数合为复数。－和i，可视为用来表示不同方向的符号，在方向上，不过是旋转180°和90°的区别。负自然数是整数，也可算是特殊虚数。实数可说是虚数为0的复数。自然数正向数轴定义为角度为零，与各完整旋转周期重合，同向。

一些相同数的简单关系。相同的数相加，可以得到倍数，a+a=2a，相同的数相减，可以消失，a－a=0，相同的数相乘，乘方数，a*a=a²，逆运算，开方，√a。负数开方，虚数，√－1=i。相同的数相除，a/a=1，a不能为0。

由负号引出一个小问题，两数相乘，为什么负负得正，负正、正负得负，正正却不得负?

正数乘以正数，相当于正数连加，依然是正数。负数乘以正数，相当于有正数个负数相加，负数加负数还是负数。正数乘以负数，则是正数在方向上旋转180°，由正方向变为正好反向的负方向，自然为负。同时，长度数量变化按乘法规则计算。负数乘以负数，相当于原来向着数轴反方向的数，即180°方向的负数再旋转了180°，变成360°，也就是0°，与正方向数轴重合，重回正数。

负号－表示与数轴正方向相反的方向。加号和正号都用符号+表示。正负相交起始的地方是零点，0。

i表示平面坐标系中与水平轴垂直的90°方向。

与平面坐标系垂直的第三方向出现在三维坐标系中。

有关维数的数学。

数和位。

数，量的累计，一和多矛盾的产物。位，量占据的空间。位数，位的个数。位权，位的权重，即不同位所提供的数量比例，如11.1，几个1所在位置不同，前面的1代表十个1，中间的为1，后面的1则是十分之一。位数向前向后都可以无穷多。

有了数以后，运算过程中，出现这样一种情况，比如，1+1=2，逆运算2－1=1，联系实际，筐里有一个鸡蛋，再放进去一个，变成两个，反过来，拿走一个，还剩一个，与算术式一致。但还可以把最后一个鸡蛋也拿走，筐里一个鸡蛋也没了，列算术式，1－1=?没有了，无，零，〇，这个没有，又不是什么都没了，筐还在，空位还在，最后以0表示空位，1－1=0。

位和数，一和多，有一位一数，一数多位，一位多数，多位多数。

数和位一一对应，一位一数，一数一位，比如，基本自然数的个位数。

一数多位，如，进位数，分数和小数。12，虽然两位，却是一个数，两位数。

数字和位数不一致，如，第一位是1，第二位是3，第三位是5，第N位则是n+2。

一个位子可不可以有多个数字?铁打的营盘流水的兵，如果数字可以轮换，一个位子就可有无数数字。也有人强行一位多数表达，如，0.9（10/9）9……，分数和小数混合，一个小数位子包含一个含两个位子的分数，或者，3（9²）1，十位出现含指数的数，如此等等，让人有种不伦不类的感觉。

数和位矛盾，有了进制。

进制。

进制，单量与多量矛盾转化，数量累积限度的突破，一种数变周期和循环的规则。

1进制，是最直观数字的与现实数量的一一对应，好比，一堆米，每一粒米以画一个竖道记录，两粒画两个竖道，以此类推，有多少粒就画多少竖道。到时，看有多少竖道，就能知道有多少粒米。认识对象少还可以，多了，很麻烦的。因为这种所谓进制，几乎就是对现实孤立个体数量映像式反映，没有反映出集群化，也没有进行精神上多量的统一，不能简化计算，和没有一样。很少有提1进制的，1进制相当于0进制，也可以说是没有进制。如果硬要显示1进制，最先只能是0.000……存在，由无穷多位的0偶然生变，“道生一”，出现0.000……1，那个极小的1满足了1进制的逢1进1，必然应以极快速度无限进位，假设到了0.1的位置，也不能停，变成1.000……，个位的1同样还要进位，出现……1000…….000……，看似无穷多位，因为1进制，不过还是个1，且是一个在无限运动中的1。

1是自然数最基本单位，2为其次，也是各自然数的基本构成。从1开始加1，自然数可以无穷无尽。如果以2为单元，从2开始加2，同样无限多。难点，自然数无穷多。

反过来，任何自然数不断地减2，最后结余，要么是1，要么是0。即，1，0，1，0，……。或者，如果不用0，最后结余是1或2，即1，2，1，2，……。都是两个最小数轮换。

同样，如果各自然数都减3，会得到，1，2，0，1，2，0，……。

设各自然数都减n，余数有，1，2，3，……，n－1，0，1，2，3，……，即，可见以n－1为最大数的循环数列。

也就是，各自然数可以自身包含的最大数量为进制循环，即，每个自然数都具有完整性，都可被用来以其数量为循环节递进。

但过长循环节用起来很不方便，因为每节需要更多不同符号表示不同数字，不像二进制，只要两个符号就可以了。

大的数包含小的数，多数循环包含少数循环。很明显，除1外，自然数最短进制为2，其次为3。人们常用的十进制，并不能取消其它进制，奇偶数相间变换，正是二进制潜在起作用。

长进制循环，周期长，位数短。短进制循环，周期短，位数长。过短为1，过长则涉及无穷多ㅇ。

由于对应的是同一自然数，不同进制可以互相等价转化。就好像由于面对的是同一事物，不同语言可以互相翻译一样。数量是客观的，如何描述是主观的，客观决定主观。人们注意到数量的客观性时，认为数学是发现，强调不同反映方式时，认为数学是发明。

进制本身也是一种定义，是对数量自循环现象的反映。

1进制下，无所谓奇偶。

所谓偶数，也可以说是被2定义的，由减法和除法定义，能被2整除的数，能不断减2余0的数。与之相对，不能被2整除的数，减2余1的数，叫奇数。

用加法定义偶数，相当于二进制起作用。满2进1，二进制位数呈现0和1循环。

所有自然数都蕴含着1和2的矛盾。

二进制里面，满2进1，新的1在前一位加权，这个位子的一个1，代表着个位的两个1，即代表着个位数的一个2。类似于记录了个位的循环转变次数。进位以后，又从头开始。

1+1得2，满2回1，再加1，又2回1。但每一次满二回一都与前一次不同。这种一次次的同一与不同变换，累计为次数。

次数具有时间性，不可逆。加法是最基础运算，减法是加法逆运算，也是相对的。

如果三进制，满3进1，就出现0，1和2循环。也可以根据3来定义，比如，叫众数，多数，或三数等，即，能被3整除的数，或，不断减3后余0的数。减3余1的还叫奇数，减3余2的，叫偶数，于是，自然数会有奇偶三，奇偶三的三位循环现象。只是，如此命名，三进制下的奇偶和二进制下的奇偶有重合错位，容易发生混乱，为了区别，不如重定义。比如，在三进制下，除3余1的，叫平数，除3余2的，叫尖数，于是，会有平尖三、平尖三的循环现象。其实，数还是那些数，不过是以3为进制来认识自然量的另一套循环系统。

其它，小数进制问题。

小数进制来自于对应的自然数进制，也就是，不同进制下，小数和整数部分进制应保持一致。各自然数都可以自身为循环节递进，扩展一下，有限小数，比如，十进制下，以0.1为单位，依次有0.2，0.3等，直至1.0，1.1，1.2，1.3……；无限小数，如0.111……，可不可以也作为循环单位成进制呢？再进一步，无穷小进制可不可以?这些无限小数进制有个末尾位数问题。自然数进制从零或1开始，有起点。分数和小数来自于自然数，属于派生物，如果单独成进制，要从后往前累加，就问，无限小数起始点在哪里?

假设无穷小可以，利用无穷多验证下。

无穷多个无穷小相加，ㅇ*o，结果是什么？

据说，有数学家已经对无穷进行分类研究，通过对不同无穷的变速快慢比较，得出无穷小、固定数和无穷大三种结果。比如，x/n或x/∞是一种无穷小，n*x/n=x，或∞*x/∞=x，这里的n指的是不断变大的数，x为任意确定数；1/n²或1/∞²又是一种无穷小，n*1/n²=1/n=o，或∞*1/∞²=1/∞=o，这是一种无穷小的结果；还有一种，无穷小速度不变，无穷大加速，如，n²*x/n=n*x=∞，或∞²*x/∞=∞*x。

这里面的∞²，就是以∞为进制了，∞*∞，其实是其中一个∞变成ㅇ，ㅇ*∞，无穷多个无穷大相加。

总之，无穷也有个过程，因为过程不同，分为不同无穷多和无穷小。无穷多的不同无穷小相加，同一无穷多和不同无穷小相乘，不同无穷多和同一无穷小相乘等，会有不同结果。不同于起始自然数，无穷小是不定的，如何转化为有限数，需进一步具体研究。

不同进制中，每个进位的数都以自身数量为限反复循环，各循环权位不同。循环累计量，次数。位数和次数紧密相关。次数可分完成次数和没完成次数。同数连减，也就是除法。减数与次数，对应除数和商。小的数不能减大的数，否则为负，跃出自然数圈了。小的数也不能除以大的数，否则，同样，会变成分数和真正的带小数点的小数，也不是自然数了。据此，常用减法和除法比较数的大小。

由于不同方向可以比较偏离度，却不好比较大小，有时把负号给取绝对值去掉，专门比较系数，如|－2|=2＞1。这里的两个竖道||，不是2的意思，而是绝对值符号。

复数既有大小，又有方向。

自然数的奇偶。

重新观察一下现在流行的自然数排列，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……，似乎一个比一个多，一个比一个大。而且，每到10就进一位，各原位数重来，好像轮回。

同时，很多人学过，会注意到，其中，1，3，5，7，9……是奇数，2，4，6，8，10……是偶数。

稍稍留意，会发现，自然数好像不只依次增加，还内含一种特别的排列方式，奇，偶，奇，偶，奇，偶，……。

前面已经回答了的问题:怎么知道一个数的奇偶，以及，为什么会有奇偶相间排列，而不总是奇数或偶数，如，奇奇奇奇，或，偶偶偶偶，或者随机奇偶，或以其它规则排列?

留个简单问题:

一个自然数序列，分别乘以2，得到偶数序列。能不能因此证明偶数2倍于自然数?

反过来，一个自然数序列，剔除奇数，得到偶数序列，而目视自然数=奇数+偶数，能不能因此证明自然数数量2倍于偶数?为什么?

奇数也可以同样这么问。

如同物理学界推崇“静质量”，教给学生到处宣传，数学家对这类问题也早有自己的看法，比如，把自然数、偶数和奇数分成三个集合，因为它们中的组成数可以一一对应，所以，结论是，自然数、偶数和奇数的数量是相等的。

如此，数学学的好的，已经有答案。数学不好的，还会有不一样看法吗？

简单奇偶关系。

1是最小的奇数。2是最小的偶数。奇数和偶数可互相转化，如，+1或－1，*2或/2等。

偶数能够被2整除，如，2，4，6，8，10等，可以表示为2k，2k/2=k，k是任意一自然数。

奇数不能被2整除，或者，除2余1，如，1，3，5，7，9等，可表示为2k+1，或2k－1。

奇数乘以2，（2k+1）*2=4k+2，奇数变偶数。

不同偶数，可以用mn代替k表达。在各自范围内，有:

偶数加偶数，2n+2m=2（m+n），依然是偶数。大偶数与小偶数。

偶数加奇数，2n+2m+1=2（m+n）+1，得到奇数。

偶数减偶数，2m－2n=2（m－n），还是偶数。

偶数乘以偶数，2m*2n=4mn，积为偶数。积，是乘法运算的结果，正如商是除法的结果。

偶数除以偶数，2m/2n=m/n，商可能是整数，也可能是分数，未定奇偶。两个未定变量的除法，结果有多种可能。

奇数加奇数，2n+1+2m+1=2（m+n+1），得到偶数。

奇数减奇数，2n+1－2m－1=2（n－m），得到偶数。

奇数乘以奇数，（2n+1）*（2m+1）=4mn+2m+2n+1=2（mn+m+n）+1，得到奇数。

奇数除以奇数，（2n+1）/（2m+1）=?

看得出，除法不那么好掌握。

质数与合数。

由自然数奇偶二分法，进一步，是质数与合数二分法。

所有自然数，都能被1和自身整除。

此外，还能被其它自然数整除的数，如4，6，8，9，10，12等，不只能被1和自身整除，也能被2或3整除，叫合数。反之，只能被1和自身整除的数，如1，2，3，5，7，11，13等，是质数，也叫素数。1中的1和自身都是1，虽是两个1，又是一个1。所以，既是质数，又不是质数。0既不是质数，也不是合数。

设a、b、c、p是任意自然数，q是不等于任意给定自然数的自然数，即，q与a、b、c、p不等，且不是1，a/1=a，a/a=1，若有a/p=q，即a能被其它自然数整除，则a是合数；若有b/p≠q，即，b不能被其它自然数整除，则b是质数。同样，如任意自然数c，有c/p≠q，c也是质数。如果一个合数等于两个质数的和，可以表示为，a=b+c，类似地，还可以有一个合数表示为三个质数和，为a=b+c+d。

这不过是把语言文字描述换成字母表达，意义不大。而且，各字母代表之间的关系，需进一步限定，如，a，b，c＞p，因为不如此，没有被整除的可能，会出现小数。

除了能被1和自身整除外，还能被2整除的数，是偶数。除了能被1和自身整除外，还能被其它自然数整除的数，是合数。从定义可知，合数包含了偶数，或者说，偶数只不过是一种特殊合数。合数也可以根据可被整除的数的多少细分，比如，一因子合数，除了1和自身外，只能被一个自然数整除的合数，如4；二因子合数，则是除了1和自身外，能被两个自然数整除的合数，如6。

与偶数相对的奇数并不都是质数，而是有合数，也有质数。考察一个自然数是否奇偶，可用2相除或连减来试，考察是否质数，因为质数来源的三个构成数都是未定自然数，除1和自身外，可用任意其它自然数相除来试，一般都是用已确认的小质数序列依次做除数来试。因为大合数包含了小合数，如能被2整除的数，已经是合数了，没必要再用4，6等其它偶数试，即能被2整除的数是偶数，能被2n整除的数同样都是偶数，也是合数。大于2的偶数可排除于质数外。

2是偶数，毕竟偶数的定义就是来自于2，也可以算是最小的唯一偶质数，其它质数如3，5，7等同理，能被3n，5n，7n等整除的数，没必要再试3，5，7。例如，能被质数3整除的数，有，3，6，9，12等；可被5整除的数，有，5，10，15，20，25等；可被7整除的数，有，7，14，21，28，35等。能被3，5，7等质数整除且结果不是1的数，已经是合数，后面的合数是前面质数的倍数，能被后面合数整除的数是多因子合数，必能被其来源质数整除，也就没必要再试。这种挨个质数尝试法，名为筛选法。这种方法的缺点是有限而低效，哪怕尝试了一万亿都是成立的，依然无法保证一万亿以外的仍成立，数学追求的证明，是无穷多任意符合条件的数都必然成立。

与奇偶数等比相间排列不同，质合数分布是，随自然数增多，合数变密，质数变稀。偶数无穷多，合数包含偶数，合数也无穷多。引发的问题，质数能无穷多吗?如果不能，最大质数是多少？有人用反证法，认为质数也是无穷多的。

奇偶数和质合数能有什么关系？

这种提问，与位数一多类似，涉及排列组合数学。如，奇偶质合四种数，可以分别研究，有奇，偶，质，合四种，专门记法，P1/4，实际没有/这个符号，1在上，4在下，/在这里只是隔开的意思。然后P2/4，P3/4，P4/4，也就是任取其中2、3、4个分别排列。P表示的各数排列先后顺序不一样的要分别考虑。另外对应的是组合，用C代替P表达，与排列不同在于，不考虑排序，组成相同，排序不同，算同一种。

自然数范围之内，一个可整分数，能否被分成两个不可整分数?如，14=7+7=3+11。

显然，一个可整分数，至少可分出一个不可整分数。1是基础数，不能再整分，2和3是质数，其它数不可能不包含这几个数。

大于2的偶数，如4，6，8，10，12等，除了自身和1外，都能被2整除，2n/2=n，所以都是合数。

奇数有合数，也有质数。

偶数是合数，部分奇数也是合数，自然数奇偶一对一相间排列，有限自然数集合里，合数数量大于质数。

一个偶数可以是两个奇数的和，一个大合数可不可以是两个小合数或两个小质数的和?

合数加合数，还是合数吗？实例法，4+9=13，不一定。肯定，需要一个不落；否定，一个就够。

一个大于2的偶数可不可以是两个合数或两个质数的和?

一个可被整除的数，可不可以表示为两个不可被整除的数的和?即，除了1和自身外，一个可整分数，能否分出两个不可整分数?如，4=2+2=1+3，9=3+3+3=2+7。

可整分里考察不可整分。

除法里有加法，均分里非均分。

自然数及有关运算，可以说是数学中最基础也最简单的了。对于吃饱饭的人，固然不是什么难题，但如不会，也不必急躁，还是那句话，“基础不牢，地动山摇”，欲速则不达。

数轴。

数和形的初步对应。

假设数轴由无穷多的均点构成。

如果，每个点都最小又不可分，那么，设点的宽度为1，数轴就是无尽的1，1，1，……。无穷多的一，也是无穷大，1*ㅇ=ㅇ=∞。多和大毕竟不同，ㅇ≠∞。各点既相连，又间断。如果没有间断，只有相连，各个点，也就是各个1就分不开了。间断处没有数，是0，于是，数轴又是无尽的1，0，1，0，1，0，……。

数轴不只一条，遍布空间，可以有无穷多。

同样，也可假设每个点都是可分的，没有最小，只有更小，可分为很小很小，直到每个点都无穷小，各点依然既区别又相连，数轴可以说是无穷多无穷小o相连，即o，o，o，……，无穷小不等于零，同样也可以是无尽的o，0，o，0，o，0，……。

据前面已知，无穷多无穷小相加，若o*ㅇ=o，∞，n，即，因为无穷小有不同种类，不同类的无穷小各自相连成数轴，结果是存在不同类型的数轴。数轴有有限轴和无限轴之分。

但如果设每个点没有大小，那都成了零，0*ㅇ=0。数轴上各点是0，0，0，……。既然各点都为0，没有了长度，何来自然数标注?

于是，点没有大小，但又不是0。点不存在，又存在。简而言之，数轴由无穷多无穷小和零的矛盾构成。

自然数1的可分与不可分，与几何上点的可分与不可分相对应。

有种观点坚持认为，无穷小无限趋近于零，二者之间找不到其它数，所以无穷小就等于零，即o=0。

若认为无穷小等于零，o=0，各个点为0，会有0*ㅇ=0。可是，既然无穷多无穷小相加，有三种结果，而不是只能为零，说明无穷小不等于零，o≠0。

在固定数n=0时，有o*ㅇ=n=0，无穷小才可以等于零。

o=≠0。

数形，实体与空间矛盾，拓扑学。

“对于任何一个凸多面体，其顶点数V、棱数E和面数F的关系:V - E + F = 2（拓扑欧拉公式）”。

这不是猜测出来的经验公式，是有证明的。

未知常在已知中。质量互变，但在新质出现前，量变为主。若要从头溯源，需用前面的量变一步一步地推出后面的质变。证明就是要把每一步量变的必然根据列出来。由于小量可以无穷小，把各微小量变都一一表达出来是不可能的。特别是，必然性的对立面，偶然性，也在起作用。由此，绝对严密的证明不可能，也没必要。不过，求同存异，利用共性，批量运算，不可能中也有可能。对层出不穷的漏洞无休止地打补丁，证明也可以是无穷无尽的。

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