更新时间：作者：小小条
一、公式汇总（考场默写版）
1. 正弦定理
在任意△ABC中：
a/sinA= b/sinB = c/sinC = 2R
（其中 a,b, c 为角 A, B, C 的对边，R 为外接圆半径）
2. 余弦定理
a²= b² + c² - 2bc cosA
b²= a² + c² - 2ac cosB
c²= a² + b² - 2ab cosC
3. 面积公式
基本公式：S = (1/2) × 底 × 高
两边夹角公式：
S = (1/2) ab sinC = (1/2) bc sinA = (1/2) ac sinB
海伦公式（已知三边）：
设 p = (a+b+c)/2，则
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
外接圆半径公式：S = abc / (4R)
内切圆半径公式：S = (1/2) r (a+b+c)
4. 角度关系
A+ B + C = 180° = π rad
5. 其他重要结论
大边对大角，大角对大边。
已知两角一边（AAS或ASA）用正弦定理；已知两边及夹角（SAS）用余弦定理；已知三边（SSS）用余弦定理求角；已知两边及一对角（SSA）可能有两解、一解或无解，需用正弦定理讨论。
二、5道典型例题及解答（背熟可直接默写）
题1：正弦定理基础应用
在△ABC中，已知 A=30°，B=45°，a=10，求 b 和 C。
解：
C= 180° - A - B = 180° - 30° - 45° = 105°。
由正弦定理：
a/sinA= b/sinB => 10/sin30° = b/sin45°
代入 sin30°= 0.5，sin45° = √2/2 ≈ 0.7071：
10/0.5= 20 = b/0.7071 => b = 20 × 0.7071 = 14.142 ≈ 14.14
答：b≈ 14.14，C = 105°。
题2：余弦定理求角
在△ABC中，已知 a=5，b=6，c=7，求角 A。
解：
由余弦定理：
a²= b² + c² - 2bc cosA
代入得：
25= 36 + 49 - 2 × 6 × 7 × cosA
25= 85 - 84cosA => 84cosA = 60 => cosA = 60/84 = 5/7 ≈ 0.7143
故 A= arccos(0.7143) ≈ 44.42°
答：角 A≈ 44.42°。
题3：面积公式（两边夹角）
在△ABC中，已知 a=8，b=6，C=60°，求面积 S。
解：
S= (1/2) ab sinC = (1/2) × 8 × 6 × sin60°
sin60°= √3/2 ≈ 0.8660
S= 24 × 0.8660 = 20.784 ≈ 20.78
答：面积 S≈ 20.78。
题4：海伦公式求面积
在△ABC中，已知三边 a=3，b=4，c=5，求面积 S。
解：
半周长 p= (a+b+c)/2 = (3+4+5)/2 = 6。
海伦公式：
S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[6 × (6-3) × (6-4) × (6-5)]
=√(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6
答：面积 S= 6。
题5：综合应用（多解情况）
在△ABC中，已知 a=7，b=8，A=40°，求角 B 和边 c。
解：
由正弦定理：
a/sinA= b/sinB => 7/sin40° = 8/sinB
sin40°≈ 0.6428，则
sinB= (8 × 0.6428)/7 ≈ 5.1424/7 ≈ 0.7346
B₁≈ arcsin(0.7346) ≈ 47.2°，B₂ ≈ 180° - 47.2° = 132.8°
情况1：B₁≈ 47.2°，则 C₁ ≈ 180° - 40° - 47.2° = 92.8°。
由正弦定理：
c₁= (a sinC₁)/sinA ≈ (7 × sin92.8°)/0.6428 ≈ (7 × 0.9988)/0.6428 ≈ 6.9916/0.6428 ≈ 10.87
情况2：B₂≈ 132.8°，则 C₂ ≈ 180° - 40° - 132.8° = 7.2°。
c₂= (a sinC₂)/sinA ≈ (7 × sin7.2°)/0.6428 ≈ (7 × 0.1253)/0.6428 ≈ 0.8771/0.6428 ≈ 1.36
答：有两组解：
① B≈ 47.2°，c ≈ 10.87；
② B≈ 132.8°，c ≈ 1.36。
三、背诵与默写建议
1. 先熟记公式部分，特别是正弦定理、余弦定理和面积公式的多种形式。
2. 5道例题覆盖了正弦定理、余弦定理、面积公式及多解情况，体现了典型解题思路。
3. 在考场上，可根据题目条件快速选择对应公式，直接套用解题步骤。
4. 注意角度单位（度或弧度）一致，计算时保留必要精度。
祝学*顺利，高考加油！
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