更新时间：作者：小小条
凡是复数形式的，必有相位；凡是能表示周期性函数的，都有相位。
相位概念与波动的能量和时间有关，属于 “动力学相位；
取决于循环路径的空间几何形状（或拓扑）的相位，称其为几何相位。
一、基本理论框架
考虑一个量子系统，其哈密顿量依赖于一组随时间变化的参数 R(t)：
系统的态矢量 |ψ(t)⟩满足薛定谔方程：
二、绝热演化与瞬时本征态
假设演化是绝热的，即参数变化足够慢，系统始终保持在瞬时本征态上。
瞬时本征态满足：
其中En(R) 是瞬时能量本征值。
在绝热近似下，若系统初始处于 |n(R(0))⟩，则时刻 t的态为：
包含两个相位因子
三、动力学相位
动力学相位来源于瞬时能量的时间积分：
对应的相位因子为 e^(iθd(t))。该相位依赖于：
能量En(R(t′)) 的具体值演化路径的速率和时间能量零点的选择四、几何相位（Berry相位）
几何相位 γn(t)由参数空间的几何性质决定。
将绝热态代入薛定谔方程可得：
Berry联络与曲率
Berry联络（规范势）
则几何相位为：
对于闭合路径 C:R(T)=R(0)，几何相位为：
其中 Berry曲率 为：
五、具体演示：自旋-1/2粒子在旋转磁场中
1. 系统设置
考虑哈密顿量：
2. 计算Berry联络
对于基态 ∣−⟩：
分量：
因此：
3. 几何相位计算
对于闭合路径 C，几何相位为：
如果路径是纬度圈 θ=θ0常数，则：
这正是路径所围立体角 Ω 的一半：γ−=−Ω/2（负号取决于相位约定）
4. 动力学相位
对于基态，能量 E−=−B恒定，动力学相位为：
5. 完整演化
经过时间 T（参数空间完成闭合路径），量子态演化为：
六、几何意义
动力学相位：依赖于路径的"长度"（时间积分），类似于经典作用量。几何相位：只依赖于参数空间的闭合路径形状，反映了希尔伯特空间的曲率（Berry曲率）。3.规范不变性：Berry相位在态矢量的整体相位变换下不变，而动力学相位依赖于相位约定。
4.投影希尔伯特空间：量子态实际上对应于射线空间（投影希尔伯特空间），几何相位反映了该空间的拓扑性质。
七、非绝热推广：Aharonov-Anandan相位
即使不满足绝热条件，也存在几何相位。
设量子态经历循环演化：
则总相位 ϕ可分解为：
动力学相位：
几何相位（Aharonov-Anandan相位）：
该相位同样只依赖于演化路径在投影希尔伯特空间中的形状。
动力学相位和几何相位共同描述了量子态演化的完整相位信息：
动力学相位：系统能量的时间积累，与演化速率相关几何相位：希尔伯特空间几何性质的体现，仅依赖于演化路径形状两者结合：
或更一般地：
其中 ϕ(t)包含动力学和几何贡献，|ψ~(t)⟩ 是射线空间中的路径。
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