一、 基础与中档题型

这类题型是高考和日常考试的核心，必须熟练掌握。

1. 含参不等式（分类讨论）

题型特征：不等式中含有一个或多个参数，需要讨论参数的范围以确定解集。

核心思路：找准“讨论点”，通常是未知数的系数和根的大小。

· 一次含参：讨论系数正负、零。

· 例如：解关于x的不等式 ax > 1。

· 思路：若a>0，则x>1/a；若a<0，则x<1/a；若a=0，则不等式变为0>1，无解。

· 二次含参：讨论开口方向（二次项系数）、判别式（Δ）、根的大小。

· 例如：解关于x的不等式 x² - ax + 1 > 0。

· 思路：先计算Δ = a² - 4。然后讨论：① a²-4<0时，抛物线全在x轴上方，解集为R；② a²-4=0时，除一个点外全在x轴上方；③ a²-4>0时，需比较两根大小，确定解集区间。

2. 绝对值不等式

题型特征：含有绝对值符号。

核心思路：利用公式去绝对值，或通过几何意义（数轴上的距离）理解。

· 基本形式：|f(x)| > a 或 |f(x)| < a (a>0)，直接套用公式。

· 复杂形式：|ax + b| > |cx + d|，通常两边平方去绝对值。

· 多个绝对值：|x - a| + |x - b| > c，采用 “零点分段法”。找出使每个绝对值为零的x值（零点），将数轴分成若干段，在各段上分别讨论去绝对值。

3. 分式不等式

题型特征：分母中含有未知数。

核心思路：绝不能直接去分母！必须移项通分，化为 f(x)/g(x) > 0 (<0, ≥0, ≤0) 的形式。

· 解法：等价转化为整式不等式组。

· f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x)·g(x) > 0

· f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x)·g(x) ≥ 0 且 g(x) ≠ 0

· 进阶技巧：对于复杂分式，使用 “穿针引线法”（数轴标根法）非常高效。

4. 连立不等式（组）

题型特征：多个不等式组合在一起。

核心思路：分别解出每个不等式，然后取它们的交集（公共部分）。在数轴上表示出来会非常直观。

二、 高阶与综合题型

这类题型综合性强，技巧性高，常见于压轴题和竞赛。

5. 不等式恒成立与能成立问题

这是高考的绝对重点和难点。

· 恒成立问题：

· 表述：“对任意x∈D，f(x) > a恒成立”。

· 核心思路：转化为 f(x)的最小值 > a。

· 模型：a > f(x) 恒成立 ⇒ a > f(x)的最大值；a < f(x) 恒成立 ⇒ a < f(x)的最小值。

· 能成立问题（存在性）：

· 表述：“存在x∈D，使得f(x) > a成立”。

· 核心思路：转化为 f(x)的最大值 > a。

· 解决方法：通常需要利用导数求出函数在给定区间上的最值。

6. 均值不等式求最值

题型特征：求一个式子的最大值或最小值，且式子通常满足“和为定值”或“积为定值”。

核心思路：“一正、二定、三相等”。

· 配凑法：核心技巧。为了满足“定值”条件，需要对式子进行巧妙的拆项、凑项。

· 例1：已知 x > 1，求 y = x + 1/(x-1) 的最小值。

· 分析：x 和 1/(x-1) 的积不是定值。将其配凑为 y = (x-1) + 1/(x-1) + 1，此时 (x-1) 与 1/(x-1) 乘积为定值1。

· 例2：已知 0 < x < 1/2，求 y = x(1-2x) 的最大值。

· 分析：x 和 (1-2x) 和不是定值，但 2x 和 (1-2x) 和是定值1。所以 y = (1/2) * 2x * (1-2x)，再用均值不等式求 2x(1-2x) 的最大值。

· “1”的代换：当条件给出一个常数为1的等式时，常用此法。

· 例：已知 a>0, b>0, a+b=1，求 (1 + 1/a)(1 + 1/b) 的最小值。

· 解法：将1用a+b替换，然后展开化简，即可应用均值不等式。

7. 柯西不等式的应用

题型特征：求平方和与平方和、或平方和与线性式乘积的最值。形式复杂，但用柯西不等式可能瞬间简化。

· 公式：(a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂)²。

· 经典应用：

· 求最值：(ax + by)² ≤ (a² + b²)(x² + y²)。

· 例：求函数 y = √(x-1) + √(3-x) 的值域。

· 解法：[√(x-1) + √(3-x)]² ≤ (1²+1²)[(x-1)+(3-x)] = 4，所以 y² ≤ 4 ⇒ y ≤ 2。

· 证明不等式：将待证式构造成柯西不等式的形式。

8. 函数、方程与不等式的综合

题型特征：将不等式与函数零点、方程根的结合、函数单调性等问题结合。

核心思路：利用导数工具研究函数的单调性、极值、图象，从而解决不等式的证明或求解问题。

· 证明 f(x) > g(x)：构造新函数 h(x) = f(x) - g(x)，证明 h(x)的最小值 > 0。

· 已知不等式求参数范围：通常转化为恒成立问题，用导数求最值。

学*建议

1. 分型突破：针对上述每一种经典题型，进行集中训练，总结该题型的通用解法和易错点。

2. 掌握核心工具：均值不等式和导数是解决高中不等式问题的两大核武器，务必精通。

3. 用好数形结合：无论是解基础不等式还是分析复杂函数，画图（数轴、函数图象）都能让你事半功倍。

4. 积累经典模型：比如“对勾函数”模型 y = x + k/x (k>0) 的图像和性质，在求最值时非常常见。

版权声明：本文转载于今日头条，版权归作者所有，如果侵权，请联系本站编辑删除