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这是珠海市高一学生暑假数学作业。

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，点D在BC边上，AD是角平分线，sin²C+sin²B+sinCsinB=sin²A，且△ABC的面积为2√3。

①求A的大小及AB·AC的值；

②若c=4“，求BD的长。

(为了方便，这里用粗体字母表示向量)

珠海高一暑假数学作业

解①。因为sin²C+sin²B+sinCsinB=sin²A，我们要把三角形三个角的三角函数关系化为三角形边长的关系，用正弦定理就可以做到。

设sinA/a=sinB/b=sinC/c=k，则

sinA=ak，sinB=bk，sinC=ck。

sin²C+sin²B+sinCsinB=sin²A可以化为

c²+b²+cb=a²，①

又根据余弦定理得：

a²=b²+c²-2bccosA，②

由①和②得：cosA=-1/2，A=120°。

AB·AC=bccosA，bc的值怎样求呢？

我们知道，S△ABC=bcsinA=2√3，

∴bc=4。

AB·AC=bccosA=4×(-1/2)=-2。

解②。c=4，bc=4，b=1。

a²=b²+c²-2bccosA

=1+16-2×4×(-1/2)=21，a=√21。

现在求BD的长就化为初中几何题。

由角平分线定理得：

BD/CD=c/b=4/1=4，又

BD+CD=√21。

解方程组得BD=4√21/5。

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