更新时间：作者：小小条
中考进阶 几何与函数05 直角坐标三大公式 中点坐标 两点 点到直线距离
〖坐标基本原理〗
[1]. 与x轴平行的直线上的点，纵坐标不变；
[2]. 与y轴平行的直线上的点，横坐标不变。
〖中点坐标公式〗
已知A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，M是AB的中点，求M(x, y)。
作AC∥x轴、BC∥y轴，二者相交于点C；设D是BC中点，E是AC中点；
由坐标基本原理，易得：
C(x₂, y₁)
D(x₂, y)
E(x, y₁)
∵D是BC中点，∴BD/DC＝1，即
(y₂－y)/(y－y₁)＝1
解得
y＝(y₂＋y₁)/2；
同理，解得
x＝(x₂＋x₁)/2；
〖两点距离公式〗
已知A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，求|AB|。
如图：
|AC|＝|x₂－x₁|，|BC|＝|y₂－y₁|，
由勾股定理 |AB|²＝|AC|²＋|BC|²，即
|AB|＝√[(x₂－x₁)²＋(y₂－y₁)²]
〖点到直线距离公式〗
已知：
直线L y＝kx＋b，
点P坐标P(m, n)，
求点P到直线L的距离d。
我们用垂线法，诱导这个公式。
垂线法
互相垂直的直线斜率互为负倒数，可求得垂线PD所在直线方程(k≠0)：
PD所在直线：y＝-(1/k)(x－m)＋n
与 y＝kx＋b联立求解交点（垂足），得垂足D的坐标：
x₁＝(m＋kn－kb)/(1＋k²)
y₁＝(km＋k²n＋b)/(1＋k²)
△x＝x₁－m＝-k(km－n＋b)/(1＋k²)
△y＝y₁－n＝(km－n＋b)/(1＋k²)
由两点距离公式，得
PD＝d＝√[(△x)²＋(△y)²]
＝|km－n＋b|/√(1＋k²)
结论：
将L的函数表达式写成方程的形式：kx－y＋b＝0
P点到直线L的距离d，等于将P点坐标代入直线方程(km－n＋b)计算结果的绝对值，再除以√(1＋k²)。
结论很整洁，也很有用。
初中未必讲，但原理上没有一点难度。
垂直直线的斜率互为负倒数，已经在《中考进阶 几何与函数 02 直角坐标系中 两直线的位置关系 平行与垂直》介绍过，也是很有用的公式。
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