更新时间：作者：小小条
走进教室，黑板上画着一条弯曲的曲线，老师说“这就是超越函数的味儿。”我跟你说，这话听着接地气，真心的。超越函数不少，但图像才是武器；图像既能帮你解零点和恒成立问题，也常常成为做“指对同构”的参照系。就是别小看这几条曲线，学好了，很多看似复杂的题目就成了“画画题”。别怕，慢慢来，图像法并不神秘，反正多练就行。
先说点实在的。常见超越函数有六种，分三对，每对有共同的形态特征。老师常讲把它们一对一记住，避免混淆。课堂上有人问“哪些点最重要？”回答是有章可循——定义域、单调区间、极值点、与坐标轴交点，以及是否有渐近线。这些专业术语你得熟，像“单调性”“渐近线”“导数”这些词常常会上场。画的时候把这几样都标上，别偷懒，画好了半步就稳了。别忘了把导函数算一遍，图像上的性质大多能靠导数证明，真假的？试一试就知道。
拿一道例题来聊不等式左侧像个变形的超越函数，右侧是一条斜率为a的直线。换句话说，就是问直线什么时候能把曲线压在下面，直线斜率要满足什么条件。有人会急着分离参变量，开始讨论x等于0或大于0或小于0，弄得人头大。其实用图像法更爽把两个函数画出来，比较斜率和交点位置，这活儿干得快还靠谱。老师说过，我记着呢“能图像法解决的题，尽量别用繁琐算术。”我才不信那种死磕代数的思路，图像一清清楚楚。
说到指对同构，这事儿听上去有点学术，其实它很贴地。所谓同构就是把复杂表达式变成和已知模型对应的形式，指对型的同构多数以超越函数为目标。举个例子，你见到一个积型或商型的式子，脑子里能立刻联想到某个指数或对数模型，这就是指对同构在起作用。老师经常用提醒我们“找到模型，问题就变成单调性分析。”就是这么简单，也就是这么神奇。别急着放弃，慢慢培养这种“看图找模型”的*惯，别总靠题海战术。
练*中常碰到一个抉择花30秒去寻找同构，找不到就继续分情况讨论。很多经验丰富的同学会这么做，遇到像样的相似结构就放手一搏，要么一眼成型，要么迅速回退，别在无谓的尝试里浪费时间。这话听着有点像生活里的“试错法”，也挺实在。课堂上大家互相议论，“这题能做成指对同构吗？”老师笑着说“不行就换路，别死磕一个办法。”
从技能层面讲，要灵活掌握指对同构，首先要把基础的超越函数形式和图像记牢，常用的积型、商型、和差型变换手法也要熟练，尤其对指数、对数的运算规则要烂熟于心。你得会会联想，会变形；这不是空话，是高分的门道。有人抱怨题多，时间紧，我跟你说，做题质量比数量更重要，学会几招图像与同构的套路，你的效率会蹭蹭往上走。
最后给出一点实操建议练*时每道题先画图，标出定义域、单调区间、交点、渐近线，再尝试找同构；如果半分钟内看不出模型，果断转为分类讨论，别耽误考试节奏。别忘了和同学讨论，对着图像互相指出细节，很多细微之处正是解题关键。就这样，画图、用导数、找同构，三者合一，可把那些看似高深的超越函数题目拆得干干净净。等你熟练了，会发现数学不像外人想的那么冷冰冰，反而像一场耐心的对话。
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