更新时间：作者：小小条
数学之美由于其鉴赏门槛较高，与其他艺术之美相比，没有一定数学素养则难以深入窥探。而魔术表演——“听牌术”，则能很好地填补这道鸿沟。观众无须刻意地储备数学知识，亦能对其着迷——就像听众无须懂得如何作曲，却能陶醉于作曲家的乐章一样。正如每首动听的乐曲背后都能感受到某类经典的乐章，听牌术的背后也藏着一个不为人所熟知的数学模型。
算法是指一系列用来描述和解决问题的运算指令和策略机制，是数学建模中一个独特而常见的专题。本节将通过数学建模把听牌术与某种的算法联系起来，引导学生针对纸牌的点数、花色、位置序号三个变量，利用函数、同余方程、数列、复数等数学工具来建立对应关系。一方面能促使学生应用不同板块的数学知识去抽象并理解现实生活中所遇到的问题，另一方面能让学生体会运用算法思想求解数学模型的独特乐趣。
本节所讲的听牌术（如图—1），指的是纸牌在魔术师手上经过令人眼花缭乱的切牌后，观众随机抽一张，魔术师便可以马上说出这张牌是什么，仿佛他具备一种超乎常人的能力，可以用听觉感受观众所抽取的纸牌。
听牌术的表演由手法及数学模型两部分构成。如图-1步骤3，在观众抽取空心箭头所指的第n张纸牌后，纸牌被分割为左右两摞，魔术师把左边的纸牌叠放在右边之上，于是原本排在第n-1位的纸牌被置放到最后一张（如图-1步骤4实心箭头所示），这就是听牌术的手法。
接下来魔术师把虚线箭头所指的那摞纸牌摆在耳边“听一听”，由于听牌时第n-1张纸牌在魔术师手心，魔术师总能迅速地知道它是什么，于
是听牌术就相当于让魔术师在短时间内解如下的数学问题：在数列{an}中，已知an-1，求an的值。因此找出合适的递推公式就是听牌术的核心所在。
图-1 去除大小王的纸牌经过魔术师或观众随意切牌后，魔术师让观众随机挑选一张，把剩余的牌（如步骤4左侧虚线箭头所示）摆在耳边“听一听”，就能说出观众所挑选的牌（如步骤4右侧空心箭头所示）
在此背景下，本节案例使用数学模型结合具体的算法由浅入深地从等差数列出发，带领学生完整地体验数学建模的各个步骤。
本节案例分两个模块，每个模块对应的一个课时：模块一：提出问题、做基本假设，用等差数列建立纸牌魔术的数学模型；模块二：在上述假设的基础上，用递推数列探索更为完美的听牌术。
本节案例需用到高中数学必修五中的“数列”、必修三中的“算法初步”，以及高中数学选修二和三中的“计数原理”作为预备知识，在模块一的学*过程中，需要学生学过并已掌握等差数列，另外还需要学生对复数的概念有最基本的认识，以及能进行最基本的同余运算、能解简单的同余方程；在模块二的学*过程中，还需学生学过并已掌握递推数列、排列组合以及算法的设计。
听牌术的数学模型适合在数列、算法初步及计数原理章节学*结束后展开，针对尚不知道如何把现实问题转化为数学模型，不知道数学建模中各个步骤的学生，学生在经历了本单元教案的学*后，不但能体会到什么是数学建模，还能自备一副魔术纸牌并进行魔术表演，让学生陶醉于“数学美”之中。
表-1 预备知识、学*模块与学*目标拆解
表-2 知识和能力掌握维度及其评价量表
模块一 用等差数列建立纸牌魔术的数学模型（1课时）
要点1：通过问题引导学生根据听牌术做出合适的基本假设。
要点2：引导学生使用等差数列分析魔术的本质，并利用等差数列建立听牌术的数学模型。
课堂设计
模块二 探索更为完美的听牌术（1课时）
要点1：通过问题引导学生得出第5条基本假设。
要点2：引导学生探索更为完美的听牌术的数学模型。
要点3：引导学生建立模型的解的评分标准。
课堂设计
纸牌排列成环有51！≈1.55×1066种情况，在混乱的纸牌中寻找规律是一项持续的挑战。而本节解决此问题的思路是逆向的，即在给定了简单规律的情况下寻找“混乱”。然而在上述764组“完美解”中，每组解都存在着“人为加工的痕迹”，例如，解(12, 2, 9, 2, 1, 3)，虽然它的得分为84.6，但其纸牌的点数（实部）中出现了4个“对子”（见图-2）。
图-2 (12, 2, 9, 2, 1, 3)对应的实部（点数）的图像
因此，可尝试修改⑨、⑩式，使其更为完美，例：
初步探索后，上式存在“完美解”，如图-3所示。
图-3 (8, 7, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3)对应的实部（点数）的图像
(1)※如图，这些纸牌都是魔术师按模块一的⑤式所排列的“魔术纸牌”，请分别求出盖着的纸牌以及对应的递推关系式。
(2)※令红桃4是魔术师用模块一的⑤式d=3，d′=1排的第1张纸牌，求第21张纸牌是什么。
(3)※如果梅花6是魔术师用模块一的⑤式d=3，d′=1排的第48张纸牌，求这摞牌的第28张纸牌是什么。
(4)※※令红桃4是魔术师用模块一的⑤式d=3，d′=1排的第1张纸牌，如果观众抽到的是一张方块K，请问它排在第几张？
(5)※※魔术师用模块一的⑤式d=3，d′=1排了一副纸牌，如果观众从中取了一摞牌（如下图箭头所示部分），而这摞牌的第一张牌是方块5，最后一张牌是黑桃4，请问这一摞牌共有多少张？如果取走的这一摞牌有偶数张，那么排在这一摞牌的中间两张牌分别是什么？如果取走的是奇数张牌，那么排在中间的这张牌是什么？
(6)※※请阅读以下材料，以个人为单位撰写一份研究报告。
魔术师的囧况
某魔术师用模块一的⑤式排了一副魔术纸牌。他为了让表演更加逼真，把纸牌交给了观众进行切牌，却没料到观众不小心进行了若干次如下图所示的切牌。那么魔术师还能顺利地进行听牌术表演吗？为什么？
观众从纸牌中间抽出一摞纸牌叠至上方
(7)※完成下列挑战：
见*魔术师的挑战
已知以下纸牌按模块二⑨式或⑩式的规律进行排列，请求出对应的递推公式并说出下一张牌是什么（只可用计算机辅助分析，所有题目均不能使用计算机求解，未掌握解同余方程的同学除外）。
1）红桃10，梅花8，方块8，黑桃10。
2）黑桃9，红桃8，梅花9，方块7。
3）黑桃5，红桃K，红桃Q，红桃8，梅花5，梅花Q。
4）红桃10，红桃Q，黑桃K，方块K，方块8，方块Q。
(8)※※如下图，该副纸牌按模块二⑨式或⑩式的规律进行排列，在不使用计算机求解的情况下，求出这副纸牌的黑桃A、红桃A、梅花A、方块A都排在什么位置。如果把这副纸牌依次逐张分派给四位朋友，请思考每位朋友所获得的纸牌都有什么特点，这四位朋友依次获得的纸牌的通项公式分别是什么。
●总评：本案例由澳门新华学校简老师设计，案例取材符合澳门地区的文化特色，具有较强的趣味性和实操性。案例使用数列递推的方式建立数学模型，简洁而有效。模型的检验和分析也很细致，使用计算机程序辅助呈现实验效果，直观且富有启发性。案例还将模型的计算结果解释回现实当中，引发学生进一步思考。作业设置得当，兼具趣味性和实操性。
●改进建议：
(1)教师的引导问题串过于细碎，教师建模的痕迹较多，学生自主发挥的空间略小。建议添加学生实验和讨论环节，让学生在充分实验的基础上，提出他们的想法，教师再根据学生的课堂生成进行点评和提升，这样学生对于模型的把握程度会更好，也更容易想到改进的方向。
(2)第1课时作业既然是让学生建立和求解模型，在第2课时建议设置相应环节让学生分享其作业结果，教师基于学生的分享内容进行点评、总结和提升，对于学生思维能力的提升会更有利。
(3)课堂设计中使用复数的实部和虚部结构来承载点数与花色两个信息，但是本质上并没有使用复数的本质运算结构（尤其是没有使用到复数的乘法）和几何特征，所以不妨换成向量结构来承载点数和花色，这样更符合学生的认知规律，避免由此引发新的困惑。
参考文献
[1]简焕森 .探索数列的通项公式 .https：
//mirror1.dsedj.gov.mo/tplan/2019/plan/C021.pdf.
[2]Tim Folger，曹希斌，庞金祥，等.在超空间里洗牌.世界科学，1992(8).
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