更新时间：作者：小小条
摘要：新课标将“数学思维”纳入中学数学核心素养中，而“数形结合”为其中最为关键的一环。本文旨在探究如何在新课标下落实中学数学“数形结合”思想的课堂教学，通过分析“数形结合”思想的核心内涵与价值，指出在当前的教学设计、实施、评价及资源整合层面所存在的现实困境，后提出一系列优化措施，并以初中“二次函数的图象与性质”为例进行案例分析。
关键词：新课标；“数形结合”思想；中学数学；实践
一、引言
数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系[1]。而“数形结合”思想是数学中极为重要的思想方法之一，从字面意义来理解，就是将“数”和“图形”相联系起来，再找出它们之间的对应关系，以此来分析和解决数学问题。华罗庚也曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休”，“数形结合”的重要性可见一斑[2]。新课标指出“学生的学*应该是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、手动实践、自主探索、合作交流等是学*数学的重要方式”[1]。这表明学生可以通过手动实践这一方式将“数”与“形”结合起来，如在学*函数时，可以通过绘制函数的图象理解函数的定义域、值域和奇偶性、周期性等其他性质。
二、新课标下中学“数形结合”思想的教学目标与价值
（一）“数形结合”思想教学在中学各阶段的梯度目标
1.初中阶段
探索在不同情境中从数学的角度发现和提出问题，能运用几何直观、逻辑推理等方法解决问题，形成模型观念和数据观念[1]。而“数形结合”的思想能更迅速有效地帮助学生对问题进行理解和掌握，图象在表示数学公式和概念时更加直观易懂。例如在学*“有理数”章节时，正负数之间的复杂关系和内在关联可以通过与数轴上的点一一对应来形象地表示。
2.高中阶段
通过高中数学课程的学*，学生能发展从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力[3]。在高中数学课程教学中，三角函数类的知识较为抽象，涉及三角函数的问题更是难以解决。此时引入“数形结合”的思想，把复杂的代数问题，通过图形的方式表现出来，得到更为直观的几何背景，帮助学生对题目思考得更加深入，开拓学生的思路，从而能够快速处理试题。
（二）“数形结合”思想在中学数学的作用
1.培养学生的数学抽象思维
运用“数形结合”思想，能够将抽象的数、代数、式子等转化成为直观的图形，帮助学生培养数学抽象的思维，通过具象的图形，进一步加深对数、式的理解，感知抽象本质。例如：在学*实数时，可以通过绘制数轴，找到每个数大致的位置。
2.加强学生的逻辑推理能力
“数形结合”思想通过“形的直观支撑”与“数的严谨论证”的双向联动，能够有效地加强学生逻辑推理的条理性、严谨性。例如在解不等式组时，可以通过绘制数轴，通过“同大取大，同小取小，大小小大中间找，*小小无解了”的口诀来选取数轴上满足题目条件的部分，从而得出答案。这是用图形直观地呈现数学关系，为抽象推理提供“看得见”的依据。又如在判断函数的对称性时，可以先用周期公式计算，再通过“描点法”绘制出函数的部分图象进行验证，增强严谨性，避免直观判断的误差。
三、新课标下中学“数形结合”思想“教、学、评”存在的问题
（一）教师的“教”方面存在的问题
1.引导学生探究“数”与“形”的关系方面亟待完善
部分教师在题目讲解时，没有明确地指出题目中“数”与“形”的具体关系，未能引导学生对“数的变化如何影响形的特征”此问题进行探究，导致学生单纯地将“数形结合”理解为“画图解题”，在遇见同类型的题时，只是机械地作图，而未曾思考“为什么要这样做？”。并在遇见新情境时，学生不能独立地理出“数”与“形”间的关系，发现并不能再简单地照搬所学过的方法，此时无从下手。
2.重结果轻过程
教学时，可能存在只看中结果，没有重视过程的情况。教师直接给出了“数形结合”的结论，而没有让学生参与思考“该如何进行‘数’和‘形’的转换”的步骤，导致学生缺乏对解题过程的体验和自主探究的机会，难以掌握题目中的逻辑转换。
（二）学生的“学”方面存在的问题
1.未构成“数形结合”知识网络
教材中有关运用“数形结合”思想的内容较为分散，存在于各个章节中，而非系统性地整理合并。且部分学生在学*后未主动复*、总结，这可能使得学生难以自主地构建一套完整的有关“数形结合”的知识网络，从而无法真正地达到掌握“数形结合”思想的相关知识的目的。
2.单向思维固化
学生对“数形结合”思想的认知肤浅，仅停留在“图形服务于代数”的层面，未能建立“代数作为工具主动解决图形问题”的深层关联。例如在面对“将抛物线 向右平移2个单位，向上平移1个单位”这一问题，学生能画图感知抛物线的位置变化，但不会用代数表达式写出平移后的函数式 ，无法用代数工具来刻画图形变换的本质。
（三）教学评价方面存在的问题
考查场景局限
试题多以“以图形解决代数问题”为基础进行设计，缺乏对“以数解形”能力的考查，极少设计“用代数运算来推导图形的性质”的问题。这样可能导致难以检测学生是否真正掌握了“数形结合”思想和对“数形结合”这一方法的运用能力。
四、新课标下中学“数形结合”思想的实施策略
（一）让教师“善教”
1.精准定位教学目标
新课标强调数学核心素养落地，其中“数形结合”是衔接“数学抽象”与“直观想象”素养的关键载体，需按学段认知规律拆解目标，避免目标模糊化，因此教师可按学段分层制定教学目标。
（1）初中阶段
初中聚焦于“数形感知与转化应用”。例如在初中《有理数的大小比较》一节，制定知识目标：掌握比较有理数大小的方法，素养目标：通过数轴建模，培养数形对应感知能力，且能够借助数轴比较3个及以上的有理数的大小。
（2）高中阶段
高中注重于“以数变形，以形化数”的双向转化问题。在高中《导数的几何意义》，设定知识目标：理解导数与切线斜率的关系，素养目标：通过函数图象与倒数表达式的互化，提升抽象问题直观化建模能力，能结合图象来分析切线斜率的正负与函数单调性间的关联。
2.创新优化教学方法
（1）联系具体生活情境
数学教师在开展“数形结合”这一部分内容的教学时，可以结合学生的实际生活来引导学生对数学知识进行学*和应用，使学生能够从数学知识中学到实际应用的能力。教师可以让学生绘制购物时“数量”与“总价”的关系图象，用横轴表示“购买的数量”，用纵轴表示“购物的总费用”。例如：一支钢笔的单价为5元，购买 支的总费用为 ，让学生绘制出此一次函数式的图象，观察发现买的越多，总花费越高的道理。
（2）直观教学
教学过程中，教师可以利用几何画板、GeoGebra等软件动态演示“数”与“形”的关系，如可以在GeoGebra软件中演示“圆与直线间的关系”时，拖动建立的直线，就可以直观地看到：圆心到直线间的距离与圆的半径的代数关系，会随着圆心与直线的位置的变化而变化，让抽象的数据以“看得见”的形式展现出来。
3.深度挖掘教材内容
教师可以整理或让学生自主梳理教材中与“数形结合”思想有关的内容，引导学生发现各类题目中“数”与“形”的关系，两者间如何相互影响，形成“数形结合”的知识网络，在遇见有关题目时，能灵活运用“数形结合”思想解答。教师还可以对教材的例题、*题等进行拓展，设计“一题多解”“一题多变”的题目，让学生锻炼“数”与“形”的转化能力。
（二）让学生“会学”
1.自主探究学*
建构主义强调“学生是学*的主体”，自主探究能够让学生主动推导数形转化的规律，避免“被动接受思想”，提升思想应用的主动性。自主探究可以从三个方面着手：动手实操、小组合作和自主复盘。
（1）动手实操
解题时，根据题目内容常态化完成“画图—析图—教具操作—得出结论”流程体系，感知数形对应。初中在绘制正、反比例函数图象时，要标注出图象与代数表达式的关键对应点，如：顶点，交点、零点等。
（2）小组合作
小组成员间合作，围绕核心问题进行探究，分工完成“数形转化—结论推导—总结”。如在探究《二次函数 的图象与性质》时，小组成员分工合作：成员 选取不同的 值画图，成员 记录图象的开口方向的变化；成员 改变 值画图，成员 记录函数对称轴的改变；成员 改变 值画图，成员 记录函数与 轴的交点变化。最后一起观察并推导，得出 三个值对图象特征的影响。
（3）自主复盘
在动手实操和小组合作探究后，自主梳理转化逻辑，标注出关键的关联点。仍以探究《二次函数 的图象与性质》为例，探究后整理结论： 值对应函数的开口方向， 值对应对称轴的位置， 值对应截距，标注重点“ 是二次函数的前提， 值影响图象开口的宽窄”。
2.构建个人方法体系
学生要自主梳理“数形结合”的方法、模型，形成个人独立的知识框架，避免出现“解题时没有思路”的情形。在每一章的理论知识学*结束后，总结此章节中运用了“数形结合”思想的*题，总结出使用的方法、步骤，绘制“数形结合知识思维导图”，以便串联章节内转化知识点。
（三）让评价促进“教”与“学”
1.细化过程性评价
要关注学生学*的全过程，及时发现学生探究过程中存在的问题，调整教学与学*策略，避免出现“重结果轻过程”的情况。
（1）课堂评价
学生绘制二次函数图象时，观察学生的画图规范性、转化逻辑完整性、探究主动性，实时记录，给出口头反馈。“开口方向正确，但对称轴位置还不太清晰”，肯定其成果的同时，及时纠正错误，指明方向。
（2）作业评价
分层批改作业，标注亮点和错误点。如批改《解一元一次不等式（组）》的作业时，可写“解不等式时能熟练运用数轴得出解集，数化形应用准确”，“画图时，也可同步写出代数解法，对比两种方法”等针对性评语。
（3）专项测试
每两周进行一次有关“数形结合”的专项测试，及时巩固所学知识。初中可以多做“有理数、一次函数”的数形结合应用例题，题型含“数轴建模、函数图象绘制与分析”。高中聚焦于“函数、导数”中与数形结合有关的运用，题型含“导数图象与函数单调性、函数零点与图象交点”等问题。
2.强化成果性评价
成果性评价是对阶段性学*成效的综合测验，“数形结合”的成果性评价需兼顾基础、中档、拓展题，全面检测学生的思想应用能力。可按照“3:5:2”的比例进行梯度题型设计，其中30%的基础题聚焦单一转化，50%的中档题侧重双向互化，20%的拓展题关联跨章节知识点。在批改时不仅关注结果的正确率，更要侧重转化步骤的规范性、逻辑的完整性。测验后，统计学生的失分点，各题型的正确率和整体薄弱点，以便调整后续的教学策略。
五、以初中数学“二次函数的图象与性质”的教学为例进行案例分析
（一）案例设计
1.教学目标：根据新课标要求，要求初中学生能掌握二次函数的图象与性质，能运用图象解决一系列简单问题；能够自主绘制出二次函数的图象，独立探究二次函数的相关性质，培养学生的“数形结合”的思维能力；希望能使学生直观地感受到“数形结合”思想的价值，激发大家的学*兴趣。
2.教学重难点：重点：学*并探究二次函数的图象与性质；难点：独立自主地运用“数形结合”思想来分析出二次函数的性质。
3.教学准备：PPT（多媒体课件）、几何画板、GeoGebra等。
4.教学过程设计：情境导入、自主探究、合作交流、巩固练*、总结拓展
（二）案例实施
1.情境导入：播放一段投篮轨迹的视频，提出问题“大家可以观察到篮球的运动轨迹是怎样的形状吗？”引出二次函数曲线。
2.自主探究：给出具体的二次函数式，例如 ， 。先让学生在草稿本上自己尝试画出图象，并进行对比，思考问题“图象的开口方向、顶点位置有何不同？”
3.合作交流：给出函数 ，设置问题“当 取不同的值时，图象的顶点位置、对称轴、与 轴的交点会是怎样的？”，让各小组成员组内分工合作，绘制出不同的函数图象，分析并总结出规律。
4.巩固练*：结合生活实际，给出具体问题，让学生绘制出图象、探究性质、尝试确定函数表达式。
5.总结拓展：总结本节课所学内容，并布置分层作业。
六、新课标下落实“数形结合”思想的未来展望
“数形结合”达成的本质，是将具有抽象性的数学语言与具有直观性的图形结合在一起，弥补了缺少图形的数字所缺少的直观性和缺少了数字的图形所欠缺的精确性。未来，“数形结合”思想可以不止运用于数学领域中，还可以进一步探索，进行跨学科教学的融合，例如和物理中小球、小车等物体的运动轨迹、化学中的物质反应速率变化等问题相结合，拓宽“数形结合”思想的运用场景。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022
[2]王陈亮.数缺形时少直观形少数时难入微——《数与形》教学实践与思考[J].小学教学设计,2020,(32):54-56.
[3]史宁中,王尚志,胡凤娟.《普通高中数学课程标准日常修订版（2017年版2025年修订）》解读[J].基础教育课程,2025,(12):40-42.
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