更新时间：作者：小小条
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说明：本笔记精选中考高频10大几何模型，按“原理→基础图形→变式→解题要点”梳理，重点标注模型核心特征（便于快速识别）和易错点，适配选择、填空、解答压轴题。
1.核心原理
两个等腰三角形（或等边、等腰直角三角形）共顶点，且顶角相等、两腰相等，通过“SAS”可证全等（或相似），进而推导线段相等、角相等。
核心特征：共顶点、等线段、夹角相等（∠AOB=∠COD）
2.基础图形
△AOB和△COD均为等边三角形，共顶点O，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°→△AOC≌△BOD（SAS）。
3.常见变式
变式1：等腰直角三角形手拉手（顶角90°）→ 全等后可推线段垂直（如AC⊥BD）。变式2：普通等腰三角形手拉手（顶角α）→ 全等后∠ACB=α/2+60°（视基础图形而定）。变式3：“反向手拉手”（两个三角形顶点同向，腰反向）→ 仍满足全等，仅图形方向变化。变式4：相似手拉手（两三角形对应边成比例，顶角相等）→ 推导出线段成比例、角相等。4.解题要点
优先找“共顶点的等线段”，标注相等的角，直接套“SAS”证全等，后续利用全等性质求线段/角度。
1.核心原理
一个角内含它的一半角（如正方形内45°角、等边三角形内30°角），通过旋转三角形，将分散的线段/角集中，利用全等推导“线段和差”关系。
核心特征：大角=2×小角，大角两边相等（如正方形边长相等、等边三角形边长相等）。
2.基础图形
正方形ABCD中，∠EAF=45°，E在BC上，F在CD上→ 旋转△ADF至△ABG，证△AEF≌△AEG→ EF=BE+DF。
3.常见变式
变式1：等边三角形内半角（△ABC为等边三角形，∠DAE=30°，D在AB上，E在AC上）→ 旋转后证全等，得DE=BD+CE。变式2：半角在外部（如正方形外45°角）→ 旋转后仍可证全等，结论变为EF=|BE-DF|。变式3：矩形内半角（长≠宽）→ 旋转后证相似，推导线段比例关系。4.解题要点
看到“45°在正方形内”“30°在等边三角形内”，直接想旋转（旋转角度=大角的度数，如90°、60°），旋转后凑出全等的三个条件。
1.核心原理
利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”，通过对称转化折线为直线，求线段和/差的最值。
核心特征：两定一动、一定两动，求“折线长度最值”。
2.基础图形
直线l为河岸，A、B为同侧两定点，P在l上，求PA+PB最小值→ 作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P，PA+PB=A'B（最小值）。
3.常见变式
变式1：两定两动（A、B为定点，P在l1上，Q在l2上，求PA+PQ+QB最小值）→ 分别作A、B关于l1、l2的对称点，连对称点交两直线于P、Q。变式2：求线段差最大值（A、B为异侧定点，P在l上，求|PA-PB|最大值）→ 作A关于l的对称点A'，连接A'B延长交l于P，|PA-PB|=A'B（最大值）。变式3：角内最短路径（P在∠AOB内，作P关于OA、OB的对称点，求折线长度最值）→ 对称后转化为直线距离。4.解题要点
“同侧和最小”“异侧差最大”均用对称法，记住“对称点+连线段”的固定套路，无需复杂推导。
1.核心原理
中线是三角形的“中间线”，通过延长中线至等长，构造全等三角形，将分散的线段/角转移到同一三角形中，解决“线段相等、角相等”问题。
核心特征：题目含“中线”“中点”，且需证的线段/角分散在中线两侧。
2.基础图形
△ABC中，AD是BC中线（BD=CD），延长AD至E，使DE=AD→ △ABD≌△ECD（SAS）→ AB=CE，∠B=∠ECD。
3.常见变式
变式1：加倍“类中线”（不是中线，但过中点的线段，如CD是△ABC中AB边上的中线，E是CD中点）→ 延长CE至F，使EF=CE，构造全等。变式2：中线+垂直（AD是中线且AD⊥BC）→ 加倍中线后可证△ABC是等腰三角形（AB=AC）。变式3：多中点问题（多个中点，无中线）→ 加倍其中一条中点线段，串联多个全等。4.解题要点
看到“中线”“中点”，且无法直接证全等时，直接“倍长中线”，口诀：“中线倍长，全等登场”。
1.核心原理
当题目要求证“线段a+b=c”“线段a-b=c”时，通过“截长”（在c上截一段等于a，证剩余部分等于b）或“补短”（延长a至b，证总长等于c），构造全等三角形。
核心特征：结论含“线段和、差”，且有相等的角/边可构造全等。
2.基础图形
△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，证AB+BD=AC→ 截长：在AC上取AE=AB，证△ABD≌△AED，得BD=DE=EC；或补短：延长AB至E，使BE=BD，证△AED≌△ACD。
3.常见变式
变式1：角平分线+截长补短（角平分线为公共边，截/补后证全等）→ 最常用场景。变式2：线段差证明（证AC-AB=BD）→ 截长：在AC上取AE=AB，证EC=BD。变式3：四边形内线段和（如梯形内证AB+CD=AD）→ 延长腰或底边，用截长补短构造全等。4.解题要点
“和”用截长或补短均可，“差”优先用截长；构造后重点找“公共边、相等角”，快速证全等。
1.核心原理
等腰三角形中，“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”三线重合，可互相转化，用于证线段垂直、平分、相等，角相等。
核心特征：图形含“等腰三角形”（两边相等）、“中点”“垂直”“角平分线”三者之一。
2.基础图形
△ABC中，AB=AC，AD是BC中线→ AD⊥BC，AD平分∠BAC（反之，AD⊥BC则AD是中线和角平分线）。
3.常见变式
变式1：等边三角形三线合一（三线重合且相等）→ 可直接推导30°角对的直角边=斜边一半。变式2：等腰三角形三线合一的逆用（一条线段既是中线又是高→ 三角形是等腰三角形）→ 中考常考判定。变式3：等腰三角形延长线（延长AD至E，使DE=AD，证△ABE≌△ACE）→ 结合倍长中线。4.解题要点
看到“等腰+中点”“等腰+垂直”，直接套用三线合一，无需额外证全等，节省推导时间。
1.核心原理
两条线段相交，构成“八字”形状，利用“三角形内角和为180°”，推导“对顶角所在的两角和相等”（∠A+∠B=∠C+∠D）。
核心特征：两条线段相交，无特殊垂直/相等条件，需转化角度。
2.基础图形
线段AC、BD相交于点O→ ∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，又∠AOB=∠COD→ ∠A+∠B=∠C+∠D。
3.常见变式
变式1：八字形+平行线（加一条平行线，结合内错角/同位角，进一步转化角度）。变式2：多个八字形嵌套（三条线段相交，形成两个八字形，串联角度关系）。变式3：八字形在三角形内（三角形内一点，连接顶点形成八字形，推导内角关系）。4.解题要点
角度计算题中，遇到“相交线段”，直接画八字形，标注已知角，套用“两角和相等”快速转化未知角。
1.核心原理
A字形：两三角形有公共角，且底边平行→ 两角相等，三角形相似；反A字形：两三角形有公共角，且另一角相等→ 三角形相似。
核心特征：有公共角（∠A=∠A），A字形含“平行线”，反A字形含“角相等”。
2.基础图形
A字形：△ABC中，DE∥BC→ △ADE∽△ABC（AA）→ AD/AB=AE/AC=DE/BC；
反A字形：△ABC中，∠ADE=∠C→ △ADE∽△ACB（AA）→ AD/AC=AE/AB=DE/CB。
3.常见变式
变式1：A字形+中点（DE是中位线）→ 相似比为1:2，DE=½BC。变式2：反A字形+垂直（∠ADE=∠C=90°）→ 相似且可利用勾股定理求线段。变式3：双A字形（两条平行线，形成两个A字形，相似比串联）。4.解题要点
看到“平行线+三角形”优先想A字形相似，看到“公共角+角相等”想反A字形相似，相似后直接套比例式求线段长度。
1.核心原理
一条直线上有三个直角（一线三垂直），构成两个直角三角形，通过“同角的余角相等”证全等或相似。
核心特征：∠A=∠B=∠C=90°，三点共线（B在AC上），常出现在坐标系、正方形/矩形中。
2.基础图形
直线AC上有B点，∠DBA=∠ABC=∠EBC=90°，DB=BC→ △DAB≌△CBE（AAS）→ AD=BC，AB=CE。
3.常见变式
变式1：一线三垂直在坐标系中（点在坐标轴上，构造直角三角形全等，求点坐标）→ 中考高频考点。变式2：一线三斜角（三个角相等但不是90°）→ 证相似，推导线段比例。变式3：K字形嵌套在正方形内（正方形边上的一线三垂直，证线段相等）。4.解题要点
坐标系中求点坐标、证线段相等，优先构造K字形，标注直角和相等的角，快速证全等（直角边相等）或相似（直角边成比例）。
1.核心原理
由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成大正方形（内弦图）或小正方形（外弦图），利用面积关系推导勾股定理，或证线段/角度关系。
核心特征：含直角三角形、正方形，有相等的直角边。
2.基础图形
内弦图：四个全等Rt△ABC，斜边为大正方形边长，直角边为a、b，斜边为c→ 大正方形面积=c²=(a-b)²+4×½ab→ 推导a²+b²=c²。
3.常见变式
变式1：外弦图（四个直角三角形在正方形外部，大正方形面积=(a+b)²=c²+4×½ab）→ 仍可推导勾股定理。变式2：弦图+旋转（旋转直角三角形，构造弦图，证线段垂直）。变式3：弦图在折叠问题中（折叠直角三角形形成弦图，求边长）。4.解题要点
涉及勾股定理应用、正方形与直角三角形结合，优先想弦图，通过面积法或全等推导结论，避免复杂计算。
1. 模型识别：优先看“核心特征”（如共顶点、中点、直角、平行线），快速对号入座；
2. 解题逻辑：模型→ 构造（旋转、倍长、对称）→ 全等/相似→ 结论；
3. 易错点：别死记结论，要懂原理（如手拉手的核心是SAS，不是等边），避免变式题懵圈。
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