更新时间：作者：小小条
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续 仲夏夜话--复变函数精讲速通
本文作为复*笔记并不贪大求全。只聚焦于复变函数最核心最难理解的几个定理与概念，做出清晰梳理与透彻讲解。以期达到原理通透内化于心运用自如的目标。其中包含作者曾经的困惑，以及深思后的正解。对相似易混淆的定理公式采用对比指出不同点及原因。本文篇幅较长，分两篇发表。这是第二篇。
目录：
0.复变函数概念与图像 1.C-R方程 2.解析函数 3.柯西积分定理 3.1 推论 4.柯西积分公式 4.1推论 5.罗伦级数 6留数
(本文包含4-6节)
正文:
4.柯西积分公式
定理1 设函数f(z)在以C为边界的闭区域D上解析，则对区域D内任意点z0有
。 （1）
此公式称为柯西积分公式。
由于z0是区域D内任意点，所以柯西积分公式又可表示为
。 （2）
其中z是区域D内任意点，ζ是C上的点。
证明：对于被积分式函数而言，z0是一个奇点（因为此处分母为零，值无穷大，此点不连续不解析）。由柯西积分定理推论:包围一个奇点的任意闭合曲线积分都相等，不妨设C为以z0为圆心，r为半径的圆。在（1）中，因为z是C上的点，可设
。则
于是
继续说明：再由柯西积分定理推论，可知围绕奇点z0的圆周积分与圆半径r无关。对r取极限不会改变积分的值。可见积分的值本来就等于f(z0)。证毕。
上述证明方法很特别，但是逻辑上无懈可击。值得借鉴。
注1：不要把柯西积分定理与柯西积分公式混淆。虽然名称很像。柯西积分定理是说解析域内的闭合曲线积分为0。而柯西积分公式是指奇点的函数值等于某个分式函数的围线积分。
注2：公式（1）中C是包含奇点z0的围线。如果C不包含z0，则在以C为边界的区域D上被积函数解析（分母不为0）。由柯西积分定理，积分为0。
注3：我所说的奇点z0，是指对于整个被积函数（分式）而言。对于分子上的函数f(z)，是在整个区域D(包含z0)上解析的。切记切记。
4.1推论
定理2（柯西导数公式）如果f(z)在以C为边界的闭区域D上解析，则在D内f(z)的任意阶导数都存在，而且
。 （3）
证明:略。只需对柯西积分公式(2)求导n次，即可得到。
5.罗伦级数
罗伦定理 设函数f(z)在圆环域D: r1<|z-z0|<r2内解析，则f(z)必可展成罗伦级数：
，其中
, r1<ρ<r2 ，且展式是唯一的。
证明: 烧脑指数★★★★★（定理本身并不烧脑，是我的疑问太多烧着自己了）
圆环域D的边界
。其中C2是逆时针的外圆，是顺时针的内圆。z0为圆心(级数展开的中心)。z为D内任意一点。由半径分别为r1和r2的圆Cr1和Cr2组成的圆环（虚线）可看作解析域D内的一个环绕z的闭合曲线，由柯西积分公式得
（4）
在外圆Cr2上 |z-z0|<|ζ-z0| ，则 |z-z0|/|ζ-z0|<1，因此
则
（5）
在内圆Cr1上|ζ-z0| <|z-z0|，则 |ζ-z0|/|z-z0|<1，因此
则
（6）
其中在圆Cr1和Cr2组成的环形域解析（因为ζ≠z0）。因此
代入（6）得
(7)
把(5)和(7)代入(4)得
同样地，积分路径可以统一改为Cr1，结果相等。可见积分路径可以是环形解析域内任意的圆 Cρ:|z-z0|=ρ，r1<ρ<r2。证毕。
注意1：这定理里面圆很多，要把积分路径的圆周Cr1,Cr2和解析域边界的外圆C2内圆C1都区分开来。也要把级数展开中心的z0和z区分开来。z在环形解析域内，z0在非解析域的内圆圆心。
注2：对于不同的展开中心z0，f(z)的罗伦级数也不一样。后面有2个例题说明。
注3：罗伦级数（定理）很关键，写出罗伦级数直接可以得到复变函数的核心概念:留数。
灵魂发问：(烧脑开始)
疑问1：为什么圆环域D不能运用柯西积分定理，使得被积函数的回路积分为0？
答：对于被积函数，因为z是函数在圆环域D中的奇点，所以被积函数在D内不解析。不符合柯西积分定理条件。但是f(ζ)在D内解析，符合积分公式条件。
疑问2：大圆Cr2和小圆Cr1是同心圆，都围绕着z0点，为什么沿Cr2的积分不等于沿Cr1的积分 /为什么沿Cr1（Cr2）的积分不等于0？
答：因为大圆围线Cr2和小圆围线Cr1分别围起来的圆盘形域都不是被积函数的解析域，不符合柯西积分条件。
疑问3：为什么（6）中的沿Cr1的积分等于（7）中沿Cr2的积分？
答：因为（6）中被积函数是，环形域D是其解析域(因ζ≠z0)，Cr1+Cr2- 构成了多连通解析域(环形)内部的一个“闭合曲线”，符合柯西积分定理条件。
例1：以z0=1为中心，将函数展开成罗伦级数。
解：函数f(z)有奇点z1=1,z2=2。z0=1，展开成(z-1)的幂级数。展开区域划分为0<|z-1|<1,和1<|z-1|<+∞(如图4.5)。函数在这两个区域都解析，故可展成双边幂级数（即罗伦级数）。
在圆环域0<|z-1|<1内，2 .在圆环域1<|z-1|<+∞内，（注：无穷远处可看作外圆周）
例2：以z0=0为中心，将函数展开成罗伦级数。
解：函数f(z)有奇点z1=1,z2=2。z0=0，展开成z的幂级数。展开区域划分为|z|<1,1<|z|<2,2<|z|<∞(如图4.6)。函数在这三个区域都解析，故可展成泰勒级数或双边幂级数（即罗伦级数）。
在圆盘域|z|<1内，，这是泰勒展开式。
2.在圆环域1<|z|<2内，
3.在圆环域2<|z|<+∞内，
6留数
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