更新时间：作者：小小条
提到三角函数，你是不是只想到30°、60°、90°？一看到sin、cos就头疼？公式多到爆炸根本背不下来？
稳住！这个章节虽然是高中数学的“庞然大物”，但逻辑性极强。今天，我带你用 “角->函数->公式” 三大步，像爬楼梯一样，从零基础直接攻到顶峰！帮你把散落的知识点串成一条线！
全文思维导图，建立清晰框架：
第一层：角的扩张 —— 从锐角到任意角
第二层：函数的核心 —— 三角函数的定义与图像
第三层：公式的宇宙 —— 三角恒等变换
第一层：角的扩张 —— 从锐角到任意角
一、任意角的概念和分类
· 突破局限： 角不再是锐角、直角、钝角，而是可以无限大（正角）或无限小（负角）。
· 象限角： 将角放在直角坐标系中，根据终边位置分为第一、二、三、四象限角。
· 轴线角： 终边落在坐标轴上的角。
· 终边相同的角： 所有与角α终边相同的角，构成的集合是 {β | β = α + k·360°, k∈Z}。这是化简和运算的基础！
二、弧度制的定义和换算
· 为什么要用弧度？ 为了将角和实数直接对应，便于微积分等高级运算。
· 定义： 把长度等于半径的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
· 换算关系： π 弧度 = 180°
· 口诀： “π 替一百八”
· 换算公式：
· 角度化弧度：弧度 = 角度 × (π / 180)
· 弧度化角度：角度 = 弧度 × (180 / π)
第二层：函数的核心 —— 三角函数的定义与图像
一、三角函数的定义和基本关系
· 定义扩张（核心）： 在直角坐标系中，对于任意角α，在其终边上任取一点P(x, y)，OP=r=√(x²+y²)>0，则：
· sinα = y / r （正弦）
· cosα = x / r （余弦）
· tanα = y / x （正切）
· 基本关系：
1. 倒数关系： sinα · cscα = 1； cosα · secα = 1； tanα · cotα = 1
2. 商数关系： tanα = sinα / cosα
3. 平方关系（最重要！）： sin²α + cos²α = 1
二、正弦、余弦、正切函数的图像和性质（“看图识性”）
1. 正弦函数 y = sinx：
· 图像： “波浪形”，周期为 2π，过原点。
· 性质： 奇函数，值域为 [-1, 1]。
2. 余弦函数 y = cosx：
· 图像： “波浪形”，周期为 2π，过点 (0,1)。
· 性质： 偶函数，值域为 [-1, 1]。
3. 正切函数 y = tanx：
· 图像： 被无数条直线 x = π/2 + kπ 隔开的“断裂”曲线。
· 性质： 奇函数，周期为 π，值域为 R，定义域为 {x | x ≠ π/2 + kπ, k∈Z}。
第三层：公式的宇宙 —— 三角恒等变换
这是公式最多的一部分，但不要死记硬背！理解它们之间的推导关系。
一、两角和与差公式（公式体系的基石）
· sin(α±β) = sinα cosβ ± cosα sinβ // 正弦：正余余正，符号同前
· cos(α±β) = cosα cosβ ± sinα sinβ // 余弦：余余正正，符号相反
· tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ± tanα tanβ)
二、二倍角公式（两角和公式的特例）
· 令 β = α，代入两角和公式即可得到：
· sin2α = 2 sinα cosα
· cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α // 这个公式有三种形式，常用于化简
· tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
三、和差化积、积化和差公式（计算利器）
· 和差化积： 将 sinα ± sinβ，cosα ± cosβ 化为乘积形式。
· 例如：sinα + sinβ = 2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
· 积化和差： 将 sinα cosβ，cosα sinβ，cosα cosβ，sinα sinβ 化为和差形式。
· 例如：sinα cosβ = 1/2 [sin(α+β) + sin(α-β)]
【 学*建议】
对于“和差化积”与“积化和差”，不要强求记忆所有8个公式。优先掌握其推导方法（由两角和差公式相加减得到），或者在题目中直接使用“两角和差公式”进行推导，这在高考试题中是允许的。
【互动挑战区 & 总结】
核心思想： 三角函数是一个体系。先理解任意角和弧度制这个新语言，再掌握函数的定义和图像这个核心，最后用公式作为工具去解决问题。
1. 【概念自查】 将 120° 化为弧度；说出角 2024° 是第几象限角。
2. 【公式应用】 已知 sinα = 3/5，且 α 是第二象限角，求 cosα 和 tanα 的值。
3. 【图像性质】 函数 y = 3sin(2x + π/3) 的周期是多少？最大值是多少？
4. 【关注解锁】 点个关注，下明天带你更新三角函数下！[三角函数y=Asin（wx+Ψ）]。
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