更新时间：作者：小小条
函数极值的定义
1、极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且有关系而且在点x＝a附近的左侧右侧我们就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，其中f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2、极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且有关系而且在点x＝b附近的左侧右侧我们就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，其中f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3、极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
函数极值的求法与步骤
1、求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程当时，
①如果在附近的左侧右侧那么是极大值；
②如果在附近的左侧右侧那么是极小值．
2、求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义域，求导数
②求方程的根；
③列表；
④利用与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
函数最值的定义
1、一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2、对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在使得下列关系式恒成立：则称为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在使得则称数为函数f(x)在区间I上的最大值．
求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
含参数的函数最值问题的两类情况
①能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
函数极值和最值在经济学中的运用
函数极值和最值在经济学中具有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
一、利润最大化问题
在经济学中，企业常常需要找到使利润最大化的产量或价格。这通常涉及到对利润函数求极值或最值。
利润函数：利润通常表示为总收入减去总成本，即L=R-C。总收入R可能是销售量Q与价格P的乘积，而总成本C可能包括固定成本和变动成本。
求极值：通过对利润函数L求一阶导数，找到使其等于零的点（即驻点），这些点可能是利润函数的极值点。进一步通过二阶导数检验，可以确定这些点是极大值点还是极小值点。在经济学中，通常关注的是极大值点，因为它代表了利润最大化的产量或价格。
最值问题：在某些情况下，如产量或价格受到约束（如市场需求、生产能力等），利润函数的最值可能出现在约束条件的边界上。此时，需要比较约束条件下的利润与驻点的利润，以确定全局最大值。
二、成本最小化问题
企业也关注如何降低成本，以提高竞争力。这同样涉及到对成本函数求极值或最值。
成本函数：成本函数表示生产一定数量的产品所需的成本。它可能包括固定成本（如租金、设备折旧等）和变动成本（如原材料、劳动力等）。
求极值：通过对成本函数求一阶导数，并找到使其等于零的点（即驻点），可以确定成本函数的极值点。这些点可能是成本最低的生产点。
最值问题：与利润最大化问题类似，成本最小化问题也可能受到各种约束条件的限制。因此，在求解成本最小化问题时，需要综合考虑约束条件和成本函数的极值点。
三、供需关系分析
在经济学中，供需关系是决定市场价格和数量的关键因素。通过极限分析，可以预测市场的饱和程度和价格走势。
需求函数：表示在不同价格水平下消费者愿意购买的产品数量。
供给函数：表示在不同价格水平下生产者愿意提供的产品数量。
市场均衡：当需求函数和供给函数相交时，市场达到均衡状态。此时的价格和数量被称为均衡价格和均衡数量。通过求解这两个函数的交点，可以找到市场的均衡状态。
极值分析：虽然供需关系分析通常不涉及直接的极值求解，但极限分析（如当价格趋于无穷大或无穷小时的需求和供给变化）有助于理解市场的长期趋势和饱和程度。
四、经济模型优化
在经济学研究中，经常需要构建各种经济模型来模拟和分析经济现象。函数极值和最值在这些模型的优化中发挥着重要作用。
模型构建：经济学家会根据研究目的和数据可用性构建不同的经济模型，如生产函数、消费函数、投资函数等。
优化问题：这些模型通常包含多个变量和约束条件，需要找到满足约束条件的最优解。这通常涉及到对目标函数（如利润、成本、效用等）求极值或最值。
求解方法：根据模型的复杂性和约束条件的不同，可以采用不同的求解方法，如拉格朗日乘数法、线性规划、非线性规划等。这些方法都涉及到对目标函数和约束条件的数学处理，以找到最优解。
综上所述，函数极值和最值在经济学中具有广泛的应用，它们为企业制定生产和销售策略、优化成本结构、分析市场趋势等提供了有力的数学工具。
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