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第1课时　并集与交集

课程标准：1.理解两个集合并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.2.能使用Venn图直观地表达两个集合的并集与交集，体会图形对理解抽象概念的作用．

教学重点：1.并集与交集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.求两个集合的并集与交集．

教学难点：1.并集中“或”、交集中“且”的正确理解.2.准确地找出并集、交集中的元素，并能恰当地加以表示.

【知识导学】

知识点

一　　　并集

自然语言	符号语言	Venn图表示
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合	A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

并集的运算性质：

A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B⇔A⊆B.

知识点

二　　　交集

自然语言	符号语言	Venn图表示
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合	A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

交集的运算性质：

A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B.

【新知拓展】

集合的交、并运算中的注意事项

(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．

(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若A∩B＝∅，则A，B至少有一个是∅.(　　)

(2)若A∪B＝∅，则A，B都是∅.(　　)

(3)对于任意集合A，B，下列式子总成立：A∩B⊆A⊆A∪B.(　　)

(4)对于任意集合A，B，下列式子总成立：A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A.(　　)

(5)对于两个非空的有限集合A，B，A∪B中的元素一定多于A中的元素．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×

2．做一做

(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)

A．5 B．4

C．3 D．2

(2)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝(　　)

A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<0}

C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}

(3)已知集合A＝{1,2，x2}，B＝{2，x}，若A∪B＝A，则x＝________.

答案　(1)D　(2)A　(3)0

题型一 求两个集合的交集与并集

例1　已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|－2≤x<1}，求A∩B，A∪B.

[解]　把集合A与B在数轴上表示出来，如图所示．

由上图可得，A∩B＝{x|－1<x<1}，A∪B＝{x|－2≤x≤2}．

集合A与B的“交”“并”运算，实质上就是对集合A与B中元素的“求同”“合并”：

1A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.

2对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.

　已知集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|－2≤x<0}，求A∩B，A∪B.

解　A∩B＝{x|－1≤x<0}，A∪B＝{x|x≥－2}.

题型二 简单的含参问题

例2　已知集合A＝{0,1}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}．求A∩B，A∪B.

[解]　集合B是方程(x－1)(x－a)＝0的解集，它可能只有一个元素1(a＝1)，也可能有两个元素1，a(a≠1)．

(1)当a＝1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1}；

(2)当a＝0时，A∩B＝{0,1}，A∪B＝{0,1}；

(3)当a≠0且a≠1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1，a}．

由于参数a的变化，集合B中的元素也在变化，即集合B是变化的集合，因此需要分类讨论；特别注意，不能把集合B写成{1，a}(因为当a＝1时，不满足元素的互异性)；对于两集合的“交”“并”运算，应当首先弄清两集合中的元素是什么，之后再根据集合“交”“并”运算的概念求解．

　已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|x≤1或x≥2}，且A∩B＝A，求a的取值范围．

解　∵A∩B＝A，∴A⊆B，

∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．

①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.

②若A≠∅，

则有或∴a≤1.

综上所述，a≤1或a≥2.

题型三 类似于“交”“并”运算的一些新定义型问题

例3　设M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定，M－(M－P)等于(　　)

A．M B．P

C．M∪P D．M∩P

[解析]　当M∩P≠∅时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝∅时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P，故选D.

[答案]　D

金版点睛

题目给出了两个集合的一种运算“M－P”，其运算法则是：M－P是由所有属于M且不属于P的元素组成的集合，弄清法则便可以进行运算，特别是借助Venn图，使问题简捷明了.

　设A，B是两个非空集合，规定A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．若A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，求A*B.

解　∵A∪B＝{0,1,2,3,4}，A∩B＝{1,2}，

∴A*B＝{0,3,4}．

1．已知集合A＝{x|x是不大于8的正奇数}，B＝{x|x是9的正因数}，则A∩B＝________，A∪B＝________.

答案　{1,3}　{1,3,5,7,9}

解析　由题意，知A＝{1,3,5,7}，B＝{1,3,9}，所以A∩B＝{1,3}，A∪B＝{1,3,5,7,9}．

2．已知集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是矩形}，则A∩B＝________.

答案　{x|x是正方形}

解析　菱形的四条边相等，矩形的四个角均为90°，四条边相等并且四个角均为90°的四边形为正方形，所以A∩B＝{x|x既是菱形，又是矩形}＝{x|x是正方形}．

3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________.

答案　{(3,1)}

解析　由题意，知A∩B＝{(x，y)|x＋y＝4且x－y＝2}＝，

解得故A∩B＝{(3,1)}．

4．已知A＝{x|－4<x≤2}，B＝{x|－2≤x≤3}，则A∩B＝________，A∪B＝________.

答案　{x|－2≤x≤2}　{x|－4<x≤3}

解析　把集合A与B在数轴上表示出来，如图所示．

由上图可知，A∩B＝{x|－2≤x≤2}，A∪B＝{x|－4<x≤3}．

5．已知A＝{x|x>a}，B＝{x|－1≤x≤1}，若A∪B＝A，则a的取值范围是________．

答案　a<－1

解析　A∪B＝A⇔B⊆A，则a<－1，故a的取值范围是a<－1.

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