第三部分 根式运算与化简

一、基础知识梳理

1. 根式的基本概念

• 定义：形如（n为大于1的整数）的式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数；当n为偶数时，（偶次根式被开方数非负）；当n为奇数时，a为任意实数（奇次根式被开方数无限制）。

• 平方根与立方根：二次根式，表示a的非负平方根；立方根（n=3）：，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。

2. 根式的基本性质

• ；

•

• 最简二次根式：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，如不是最简二次根式（可化简为）。

3. 二次根式的核心运算

• 化简：= 。

• 加减运算：先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），如不能合并。

• 乘除运算：乘法：；除法：。

• 分母有理化：将分母中的根式化为有理式，常用方法：① 单项分母：；② 两项分母： 。

4. 易错点提示

1. 忽略偶次根式被开方数非负的条件，如；

2. 化简时，误去掉绝对值符号，如；

3. 二次根式加减时，将非同类二次根式合并；

4. 分母有理化时，平方差公式使用错误（如()误作为有理化因式）。

二、常见考点题型解析

题型1：根式的化简与性质应用

例题：化简下列根式：。

解析：（1）化为最简二次根式：；

（2）利用偶次根式性质：；

（3）分母有理化：。

考点总结：考查根式的化简和性质，核心是掌握最简二次根式的标准和偶次根式的绝对值性质。

题型2：二次根式的加减乘除运算

例题：计算：（1）。

解析：（1）先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式：

原式=。

（2）先算乘法（平方差公式），再算减法：

平方差公式：；

原式=。

考点总结：二次根式运算的核心是“先化简，再运算”，加减合并同类根式，乘除利用公式化简，注意平方差公式在根式乘法中的应用。

题型3：分母有理化

例题：化简：。

解析：先对分母有理化，再化简合并：

；

；

原式=。

考点总结：分母有理化是根式化简的重点，两项分母的有理化因式是其“共轭根式”（如的有理化因式是）。

三、*题精练

1. 基础题

1. 化简：= ________；= ________。

2. 计算：________；= ________。

3. 分母有理化： = ________。

2. 提升题

1. 计算：。

2. 化简求值：，其中x = 4，y = 1（先有理化再求值）。

四、*题答案与解析

1. 基础题答案

1. ；

2.；同类根式合并）；

3.。

2. 提升题答案

1. 3（解析：原式=）；

2. （解析：有理化分母，原式=，代入x=4,y=1，得。

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