更新时间：作者：小小条
一、集合与常用逻辑用语
这个板块公式不多，但概念非常重要。
集合间的基本关系
子集：A ⊆ B （任意 x ∈ A，则 x ∈ B）
真子集：A ⊂ B （A ⊆ B 且 A ≠ B）
集合相等：A = B （A ⊆ B 且 B ⊆ A）
集合的基本运算
交集：A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
并集：A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
补集：∁ᵤA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} (U为全集)
关键点：注意区分 ∈（属于）和 ⊆（包含于）。处理含参数的集合问题时，要特别考虑空集 ∅ 的情况（例如，B ⊆ A，需讨论B是否为空集）。
二、函数
函数是高一的核心，公式和性质非常多。
函数的单调性
定义：在定义域区间D上，任意x₁<x₂，若有f(x₁) < f(x₂)，则f(x)在D上单调递增；若有f(x₁) > f(x₂)，则f(x)在D上单调递减。
函数的奇偶性
偶函数：f(-x) = f(x) 【图像关于y轴对称】
奇函数：f(-x) = -f(x) 【图像关于原点对称】
重要性质：奇函数在x=0处有定义，则必有f(0)=0。
指数与指数函数
运算规则：
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
指数函数：y = aˣ (a > 0且 a ≠ 1)
对数与对数函数
与指数的关系：aᵇ = N ⇔ b = logₐN (a > 0, a≠1, N > 0)
运算规则（重中之重）：
积的对数：logₐ(M·N) = logₐM + logₐN
商的对数：logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
幂的对数：logₐMⁿ = n·logₐM
换底公式：logₐb = log꜀b / log꜀a (c > 0且 c ≠ 1) 【特别地，logₐb = 1 / log_b a】
对数函数：y = logₐx (a > 0且 a ≠ 1)
关键点：指数、对数的运算规则必须滚瓜烂熟，这是解决复杂计算和证明题的基础。
三、三角函数
这是高一下学期的绝对重点和难点，公式极多。
诱导公式
口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
核心：将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。
同角三角函数基本关系
平方关系：sin²α + cos²α = 1
商数关系：tanα = sinα / cosα
两角和与差公式
sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)
二倍角公式（由和角公式推导）
sin2α = 2 sinα cosα
cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
辅助角公式（强有力工具）
a sinα + b cosα = √(a²+b²) sin(α + φ)，其中 tanφ = b/a。
作用：将两个三角函数的和化为一个三角函数，便于研究周期、最值等性质。
正弦、余弦定理（解三角形）
正弦定理：a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R (R为三角形外接圆半径)
余弦定理：
a² = b² + c² - 2bc·cosA
cosA = (b² + c² - a²) / 2bc
关键点：三角函数公式不要死记硬背，要理解其内在联系（如二倍角是两角和的特殊情形）。多做题，在应用中记忆。
四、平面向量
向量是沟通代数与几何的桥梁。
向量运算
加减法：三角形法则、平行四边形法则。
数乘：λa，其长度为 |λ|·|a|，方向由λ的正负决定。
数量积（点乘）：a · b = |a| |b| cosθ (θ是a与b的夹角)
坐标表示：若 a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)，则 a · b = x₁x₂ + y₁y₂
重要定理与公式
共线定理：向量a(a≠0)与b共线 ⇔ 存在唯一实数λ，使 b = λa。
平面向量基本定理：同一平面内任意向量e，都可表示为两个不共线向量a、b的线性组合：e = λa + μb。
坐标运算：
若 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)，则向量 AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
向量模长：若 a = (x, y)，则 |a| = √(x² + y²)
两点间距离：|AB| = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
夹角公式：cosθ = (a · b) / (|a| |b|) = (x₁x₂ + y₁y₂) / [√(x₁²+y₁²) · √(x₂²+y₂²)]
关键点：区分向量模的运算和数量的运算。数量积的结果是一个数，而不是向量。
五、立体几何初步
主要涉及几何体的计算和空间位置关系的证明。
常见几何体的表面积和体积公式
柱体（棱柱、圆柱）：V = S底 · h
锥体（棱锥、圆锥）：V = (1/3) S底 · h
台体（棱台、圆台）：V = (1/3) h (S上 + S下 + √(S上·S下))
球体：S表 = 4πR²， V = (4/3)πR³
关键点：台体公式是重点，也是难点，需要牢记。
六、复数
相对独立且简单的一个章节。
基本概念：z = a + bi (a, b ∈ R)，其中i为虚数单位，i² = -1。
模长：|z| = |a + bi| = √(a² + b²)
共轭复数：若 z = a + bi，则其共轭复数为 ž = a - bi。
运算法则：加减法实部虚部分别相加减，乘法按多项式法则展开并将i²替换为-1。
学*建议
理解优先：弄清楚每个公式的来龙去脉和几何意义，比单纯背诵效果好十倍。
推导记忆：尝试自己推导公式（如用和角公式推导二倍角公式），这样记得更牢。
分类整理：准备一个笔记本，将上述公式分门别类地整理好，并附上典型例题。
大量练*：公式只有在应用中才能真正掌握。多做基础题巩固，做综合题提升。
希望这份总结能帮助你更好地掌握高一数学！祝你学*进步！
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