更新时间：作者：小小条
今天我要给大家详细讲解统计学中最常见的概率分布 —— 正态分布。先从基础概念入手，再教大家如何用它计算概率，最后通过实战案例巩固知识点。如果觉得内容有用，别忘了点赞关注，支持我们创作更多干货内容！
正态分布的图形呈对称的钟形，因此也常被称为 “钟形曲线”。这条曲线以分布的均值为中心，向两侧延伸，且离均值越远，概率密度越低。从理论上讲，正态分布会向正负两个方向无限延伸，但实际上，其显著的概率值仅集中在均值 ±3 个标准差的范围内。
这就引出了正态分布的重要经验法则（68-95-99.7 法则）：
约 68% 的数据落在均值 ±1 个标准差范围内；约 95% 的数据落在均值 ±2 个标准差范围内；约 99.7% 的数据落在均值 ±3 个标准差范围内。正态分布之所以应用广泛，是因为它能描述很多现实世界中的现象 —— 比如人们的身高、体重、智商等，都近似遵循正态分布。
不同场景下的正态分布，其均值、标准差和单位各不相同（比如身高用英寸，体重用磅），直接计算概率会非常麻烦。为了解决这个问题，我们需要对数据进行 “标准化” 处理，将任意正态分布转换为 “标准正态分布”。
标准正态分布的特点是：均值 = 0，标准差 = 1，且无单位限制。无论原始数据的量级和单位如何，标准化后都能转化为以 0 为中心、大致在 - 3 到 3 之间延伸的分布。
z 分数的计算公式为：z = (x - μ) / σ其中：
x：原始数据点；μ（缪）：原始分布的均值；σ（西格玛）：原始分布的标准差。z 分数的含义是：某个数据点偏离均值的标准差个数。比如 z=0.5，说明该数据点比均值高 0.5 个标准差。
举个例子：假设某班学生的身高服从正态分布，均值 μ=66 英寸，标准差 σ=2 英寸。如果你的身高是 67 英寸，对应的 z 分数为 (67-66)/2=0.5，意味着你的身高比班级平均水平高 0.5 个标准差。
与其他概率分布不同，正态分布没有简洁的概率计算公式，需要借助 z 分数表（也叫标准正态分布表）来查询概率。
z 分数表的左侧列对应 z 分数的整数部分和小数点后一位，顶部行对应 z 分数的小数点后二位，表格内部的数值是该 z 分数对应的 “左侧面积”—— 即数据落在该 z 分数左侧的概率（也就是 P (Z < z)）。
注意：z 分数有正负之分，需使用对应的正负 z 分数表：
负 z 分数表：用于查询小于均值的数据点（z<0）的概率；正 z 分数表：用于查询大于均值的数据点（z>0）的概率。示例：若 z 分数 = 0.63，需在正 z 分数表中找到 “0.6” 行和 “0.03” 列，交叉处的数值 0.7357 即为概率，代表有 73.57% 的数据落在该 z 分数左侧。
假设你常去的披萨店声称 “大披萨直径至少 16 英寸，否则免费”。根据你的经验，该店披萨直径服从正态分布，均值 μ=16.3 英寸，标准差 σ=0.2 英寸。我们来解决三个实际问题：
免费披萨的条件是直径 <16 英寸，即求 P (X < 16)。
计算 z 分数：z = (16 - 16.3)/0.2 = -1.5；查负 z 分数表：找到 “-1.5” 行和 “0.00” 列，对应概率 0.0668；结论：获得免费披萨的概率为 6.68%。即求 P (X> 16.5)。
计算 z 分数：z = (16.5 - 16.3)/0.2 = 1.0；查正 z 分数表：“1.0” 行和 “0.00” 列对应概率 0.8413（即 P (Z < 1.0)=0.8413）；由于正态分布总面积为 1，右侧面积 = 1 - 左侧面积：1 - 0.8413 = 0.1587；结论：买到超大披萨的概率为 15.87%。即求 P (15.95 < X < 16.63)。
计算两个数据点的 z 分数：15.95 英寸：z1 = (15.95 - 16.3)/0.2 = -1.75；16.63 英寸：z2 = (16.63 - 16.3)/0.2 = 1.65；查 z 分数表：P (Z < -1.75) = 0.0401（负 z 分数表）；P (Z < 1.65) = 0.9505（正 z 分数表）；中间面积 = 右侧 z 分数的左侧面积 - 左侧 z 分数的左侧面积：0.9505 - 0.0401 = 0.9104；结论：买到该尺寸范围披萨的概率为 91.04%。正态分布是统计学中最基础也最实用的概率分布，核心在于通过 z 分数将任意正态分布标准化，再借助 z 分数表计算概率。记住 68-95-99.7 法则和 z 分数的计算逻辑，就能轻松解决各类实际问题。
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